如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/09 08:32:19
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC中点,AO交BD于E.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求二面角P-DC-B的大小;
(3)求证:平面PAD⊥平面PAB.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求二面角P-DC-B的大小;
(3)求证:平面PAD⊥平面PAB.
方法一:(1)证明:∵PB=PC,∴PO⊥BC
又∵平面PBC⊥平面ABCD
平面PBC∩平面ABCD=BC,∴PO⊥平面ABCD(2分)
在梯形ABCD中,可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,
即AO⊥BD∵PA在平面ABCD内的射影为AO,∴PA⊥BD(4分)
(2)∵DC⊥BC,且平面PBC⊥平面ABCD
∴DC⊥平面PBC∵PC⊂平面PBC,∴DC⊥PC
∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角(6分)
∵△PBC是等边三角形,∴∠PCB=60°,即二面角P-DC-B的大小为60°(8分)
(3)证明:取PA,PB的中点M,N,连接CN
∵PC=BC,∴CN⊥PB①∵AB⊥BC,且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC(10分)
∵AB⊂平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB,CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
连接DM、MN,则由MN∥AB∥CD
MN=
1
2AB=CD,得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM⊆平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB(12分)
方法二:取BC的中点O,因为△PBC是等边三角形,
由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD(1分)
以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与
AB平行的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz(2分)
(1)证明:∵CD=1,则在直角梯形中,AB=BC=2
在等边三角形PBC中,PO=
3
∴A(1,−2,0),B(1,0,0),D(−1,−1,0),P(0,0,
3)
∴
BD=(−2,−1,0),
PA=(1,−2,−
3)
∵
BD•
PA=(−2)×1+(−1)×(−2)+0×(−
3)=0
∴
PA⊥
BD,即PA⊥BD(4分)
(2)取PC中点N,则
BN=(−
3
2,0,
3
2)
∵
DC=(0,2,0),
CP=(1,0,
3)
∴
BN•
DC=(-
3
2)×0+0×2+
3
2×0=0
BN•
CP=(-
3
2)×1+0×0+
3
2×
3=0
∴
BN⊥平面PDC,显然
OP=(0,0,
3),且
OP⊥平面ABCD
∴
BN、
OP所夹角等于所求二面角的平面角(6分)∵
BN•
OP=(−
3
2)×0+0×0+
3
2×
3=
3
2,|
BN|=
3,|
OP|=
3
∴cos<
BN,
OP>=
3
2
3
3=
1
2∴二面角P-DC-B的大小为60°(8分)
(3)证明:取PA的中点M,连接DM,则M的坐标为(
1
2,−1,
3
2)
又
DM=(
3
2,0,
3
2),
OP=(1,0,−
3)(10分)
∴
DM•
PA=
3
2×1+0×(−2)+
3
2×(−
3)=0
DM•
PB=
3
2×1+0×0+
3
2×(−
3)=0
∴
DM⊥
PA,
DM⊥
PB,即DM⊥PA,DM⊥PB
∴DM⊥平面PAB,∴平面PAD⊥平面PAB.
又∵平面PBC⊥平面ABCD
平面PBC∩平面ABCD=BC,∴PO⊥平面ABCD(2分)
在梯形ABCD中,可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,
即AO⊥BD∵PA在平面ABCD内的射影为AO,∴PA⊥BD(4分)
(2)∵DC⊥BC,且平面PBC⊥平面ABCD
∴DC⊥平面PBC∵PC⊂平面PBC,∴DC⊥PC
∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角(6分)
∵△PBC是等边三角形,∴∠PCB=60°,即二面角P-DC-B的大小为60°(8分)
(3)证明:取PA,PB的中点M,N,连接CN
∵PC=BC,∴CN⊥PB①∵AB⊥BC,且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC(10分)
∵AB⊂平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB,CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
连接DM、MN,则由MN∥AB∥CD
MN=
1
2AB=CD,得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM⊆平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB(12分)
方法二:取BC的中点O,因为△PBC是等边三角形,
由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD(1分)
以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与
AB平行的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz(2分)
(1)证明:∵CD=1,则在直角梯形中,AB=BC=2
在等边三角形PBC中,PO=
3
∴A(1,−2,0),B(1,0,0),D(−1,−1,0),P(0,0,
3)
∴
BD=(−2,−1,0),
PA=(1,−2,−
3)
∵
BD•
PA=(−2)×1+(−1)×(−2)+0×(−
3)=0
∴
PA⊥
BD,即PA⊥BD(4分)
(2)取PC中点N,则
BN=(−
3
2,0,
3
2)
∵
DC=(0,2,0),
CP=(1,0,
3)
∴
BN•
DC=(-
3
2)×0+0×2+
3
2×0=0
BN•
CP=(-
3
2)×1+0×0+
3
2×
3=0
∴
BN⊥平面PDC,显然
OP=(0,0,
3),且
OP⊥平面ABCD
∴
BN、
OP所夹角等于所求二面角的平面角(6分)∵
BN•
OP=(−
3
2)×0+0×0+
3
2×
3=
3
2,|
BN|=
3,|
OP|=
3
∴cos<
BN,
OP>=
3
2
3
3=
1
2∴二面角P-DC-B的大小为60°(8分)
(3)证明:取PA的中点M,连接DM,则M的坐标为(
1
2,−1,
3
2)
又
DM=(
3
2,0,
3
2),
OP=(1,0,−
3)(10分)
∴
DM•
PA=
3
2×1+0×(−2)+
3
2×(−
3)=0
DM•
PB=
3
2×1+0×0+
3
2×(−
3)=0
∴
DM⊥
PA,
DM⊥
PB,即DM⊥PA,DM⊥PB
∴DM⊥平面PAB,∴平面PAD⊥平面PAB.
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC
如图:已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°AB=BC=PB=PC=2CDC,侧面PBC⊥底
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面AB
已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面AB
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,
如图,四棱锥P-ABCD的地面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=2,BC=根号2,CD=1,PC⊥底面ABC
急已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90度,AB=BC=PB=
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,且PA=PB=PC=AB=6,CD=2,BC
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形AB平行CD ∠ABC=90 AB=2BC=2CD=2,PA=PD,PB=PC
四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=SB=SC=2CD=2,侧面SBC⊥底面AB