已知a是非零常数,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x,x∈R 求函数在[0,π/2]上的最大值、最小值
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 15:31:37
已知a是非零常数,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x,x∈R 求函数在[0,π/2]上的最大值、最小值
f(x)=a(cosx)^2+sin2x
=(a/2)cos2x+sin2x+a/2
=sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4)+ a/2
(其中,sinA=a/√(4+a^2))
当a>0时,A∈(0,π/2),
∵x∈[0,π/2],则A≤2x+A≤π+A =>sinA≤sin(2x+A) ≤1
=> a/√(4+a^2) ≤sin(2x+A) ≤1
=> a/2≤sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4) ≤√(1+(a^2)/4)
=> a≤f(x) ≤√(1+(a^2)/4)+ a/2
当asinA≤sin(2x+A) ≤1
=>a/√(4+a^2) ≤sin(2x+A) ≤1
=> a/2≤sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4) ≤√(1+(a^2)/4)
=> a≤f(x) ≤√(1+(a^2)/4)+ a/2
综上所述,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x在[0,π/2]上的
最大值为√(1+(a^2)/4)+ a/2=(a+√(4+a^2))/2,
最小值为a.
=(a/2)cos2x+sin2x+a/2
=sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4)+ a/2
(其中,sinA=a/√(4+a^2))
当a>0时,A∈(0,π/2),
∵x∈[0,π/2],则A≤2x+A≤π+A =>sinA≤sin(2x+A) ≤1
=> a/√(4+a^2) ≤sin(2x+A) ≤1
=> a/2≤sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4) ≤√(1+(a^2)/4)
=> a≤f(x) ≤√(1+(a^2)/4)+ a/2
当asinA≤sin(2x+A) ≤1
=>a/√(4+a^2) ≤sin(2x+A) ≤1
=> a/2≤sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4) ≤√(1+(a^2)/4)
=> a≤f(x) ≤√(1+(a^2)/4)+ a/2
综上所述,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x在[0,π/2]上的
最大值为√(1+(a^2)/4)+ a/2=(a+√(4+a^2))/2,
最小值为a.
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已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R,(1)求函数f(x)在区间【π/8,3π/4】上的最小值
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已知函数f(x)=2/x+alnx,a属于R 求函数在区间(0,e]上的最小值.
设函数f(x)=2cosx+sin2x+a(a∈R).求大神帮助