在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=25,圆O1的圆心为O1(m,0)且与圆O交于点P(3,4),过点P且斜
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 18:24:55
在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=25,圆O1的圆心为O1(m,0)且与圆O交于点P(3,4),过点P且斜率为(k≠0)的直线l分别交圆O,O1于点A,B.
(1)若K=1,且BP=7
2,求圆O1的方程;
(2)过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O,O1于点C,D.当m为常数时,试判断AB2+CD2是否是定值?若是定值,求出这个值;若不是定值,请说明理由
(1)若K=1,且BP=7
2,求圆O1的方程;
(2)过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O,O1于点C,D.当m为常数时,试判断AB2+CD2是否是定值?若是定值,求出这个值;若不是定值,请说明理由
(1)K=1时,直线l:y-4=x-3,即x-y+1=0,
由题意得:
(
|m+1|2
)2+(
722
)2=(m-3)2+42
,
整理得,m2-14m=0,解得m=14或m=0(舍去),
所以圆O1的方程为(x-14)2+y2=137.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
直线l:y-4=k(x-3),即y=kx-(3k-4),
由
y=kx-(3k-4)x2+y2=25
消去y得,(k2+1)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0,
由韦达定理得3x1=
9k2-24k-9k2+1
,
得x1=
3k2-8k-3k2+1
.
由
y=kx-(3k-4)(x-m)2+y2=(m-3)2+16
消去y得,(k2+1)x2+(8k-6k2-2m)x+9k2-24k-9+6m=0,
由韦达定理得3x2=
9k2-24k-9+6mk2+1
,
得x2=
3k2-8k-3+2mk2+1
.
所以,x1-x2=
2mk2+1
,
AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)
(
2mk2+1
)2
=
4m2k2+1
.
同理可得,CD2=
4m2k2k2+1
,
所以,AB2+CD2=
4m2k2+1
+
4m2k2k2+1
=4m2
为定值.
由题意得:
(
|m+1|2
)2+(
722
)2=(m-3)2+42
,
整理得,m2-14m=0,解得m=14或m=0(舍去),
所以圆O1的方程为(x-14)2+y2=137.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
直线l:y-4=k(x-3),即y=kx-(3k-4),
由
y=kx-(3k-4)x2+y2=25
消去y得,(k2+1)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0,
由韦达定理得3x1=
9k2-24k-9k2+1
,
得x1=
3k2-8k-3k2+1
.
由
y=kx-(3k-4)(x-m)2+y2=(m-3)2+16
消去y得,(k2+1)x2+(8k-6k2-2m)x+9k2-24k-9+6m=0,
由韦达定理得3x2=
9k2-24k-9+6mk2+1
,
得x2=
3k2-8k-3+2mk2+1
.
所以,x1-x2=
2mk2+1
,
AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)
(
2mk2+1
)2
=
4m2k2+1
.
同理可得,CD2=
4m2k2k2+1
,
所以,AB2+CD2=
4m2k2+1
+
4m2k2k2+1
=4m2
为定值.
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