若矩阵A是正规阵,证明:A的二范数 等于 A的谱半径.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/26 03:27:20
若矩阵A是正规阵,证明:A的二范数 等于 A的谱半径.
这个比较简单,给出两种证明过程:
命题:A是正规阵,必然存在酉阵Q满足:Q' * A * Q = D,D为对角阵且每个对角元为A的特征值.
1.A的二范数 A的最大奇异值 max(sqrt(eig(A' * A))) max(sqrt(eig(D' * D))) D的模最大对角元 A的谱半径,证毕!
2.记D = diag{λ1,λ2,...,λn}满足|λ1| ≥ |λ2| ≥ ...≥ |λn|,则|λ1|为A的谱半径.
2.1 令x1为λ1对应的右特征向量满足A * x1 = λ1 * x1,必然有:||A*x1||₂/ ||x1||₂= |λ1| ≤ ||A||₂
2.2 令y1为A的2范数对应的单位向量,即:||y1||₂= 1且||A||₂= ||A*y1||₂.y1可以被Q线性表出为y1 = Q * z1,且z1也为单位向量.不难得出:||A||₂= ||A*y1||₂= ||A*Q*z1||₂= ||D*z1||₂≤ |λ1|
综合2.1和2.2可得:||A||₂= |λ1|,证毕!
命题:A是正规阵,必然存在酉阵Q满足:Q' * A * Q = D,D为对角阵且每个对角元为A的特征值.
1.A的二范数 A的最大奇异值 max(sqrt(eig(A' * A))) max(sqrt(eig(D' * D))) D的模最大对角元 A的谱半径,证毕!
2.记D = diag{λ1,λ2,...,λn}满足|λ1| ≥ |λ2| ≥ ...≥ |λn|,则|λ1|为A的谱半径.
2.1 令x1为λ1对应的右特征向量满足A * x1 = λ1 * x1,必然有:||A*x1||₂/ ||x1||₂= |λ1| ≤ ||A||₂
2.2 令y1为A的2范数对应的单位向量,即:||y1||₂= 1且||A||₂= ||A*y1||₂.y1可以被Q线性表出为y1 = Q * z1,且z1也为单位向量.不难得出:||A||₂= ||A*y1||₂= ||A*Q*z1||₂= ||D*z1||₂≤ |λ1|
综合2.1和2.2可得:||A||₂= |λ1|,证毕!
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