如果一个函数的定义域是值域的真子集,那么称这个函数为“思法”函数.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/28 23:26:52
如果一个函数的定义域是值域的真子集,那么称这个函数为“思法”函数.
(1)判断指数函数、对数函数是否为思法函数,并简述理由;
(2)判断幂函数y=xα(α∈Q)是否为思法函数,并证明你的结论;
(3)已知f
(1)判断指数函数、对数函数是否为思法函数,并简述理由;
(2)判断幂函数y=xα(α∈Q)是否为思法函数,并证明你的结论;
(3)已知f
(1)∵指数函数的定义域是R,值域(0,+∞).
∴指数函数不是思法函数
对数函数的定义域是(0,+∞),值域R,
故对数函数是思法函数.
(2)幂函数y=xα(α∈Q)不是思法函数.证明如下:
1)当α=0时,显然y=x0不是思法函数;
2)当α>0时,设α=
m
n(其中m,n是互质的正整数).
①若n为偶数,则m为奇数,定义域和值域都是[0,+∞),不是思法函数;
②若n为奇数,当m为奇数时,定义域和值域都是R,不是思法函数;
当m为偶数时,定义域R,值域是[0,+∞),不是思法函数.
3)当α<0时,设α=−
m
n(其中m,n是互质的正整数)
①若n为偶数,则m为奇数,定义域和值域都是(0,+∞),不是思法函数;
②若n为奇数,当m为奇数时,定义域和值域都是(-∞,0)∪(0,+∞),不是思法函数;
当m为偶数时,定义域(-∞,0)∪(0,+∞),值域是(0,+∞),不是思法函数.
综上所述;幂函数y=xα(α∈Q)不是思法函数.
(3)令y=lnu,u=x2+2x+t.则u=(x+1)2+t-1
①当△=4-4t<0,即t>1时,恒有u≥t-1>0.
故ft(x)的定义域为R,值域为[ln(t-1),+∞),ft(x)不是思法函数;
②当△=4-4t≥0,即t≤1时,u=x2+2x+t能取(0,+∞)中的一切值,
故ft(x)的值域为R.定义域不是R,ft(x)是思法函数.
因此,ft(x)是思法函数⇔t∈(-∞,1].
又2t+1+3t+1≤k(2t+3t)⇔k≥
2t+1+3t+1
2t+3t,
令g(t)=
2t+1+3t+1
2t+3t,则k≥g(t)max.
∵g(t)=
2(
2
3)t+3
(
2
3)t+1=2+
1
(
2
3)t+1在(-∞,1]上是增函数,
故g(x)max=g(1)=
13
5.
所以k∈[
13
5,+∞).
∴指数函数不是思法函数
对数函数的定义域是(0,+∞),值域R,
故对数函数是思法函数.
(2)幂函数y=xα(α∈Q)不是思法函数.证明如下:
1)当α=0时,显然y=x0不是思法函数;
2)当α>0时,设α=
m
n(其中m,n是互质的正整数).
①若n为偶数,则m为奇数,定义域和值域都是[0,+∞),不是思法函数;
②若n为奇数,当m为奇数时,定义域和值域都是R,不是思法函数;
当m为偶数时,定义域R,值域是[0,+∞),不是思法函数.
3)当α<0时,设α=−
m
n(其中m,n是互质的正整数)
①若n为偶数,则m为奇数,定义域和值域都是(0,+∞),不是思法函数;
②若n为奇数,当m为奇数时,定义域和值域都是(-∞,0)∪(0,+∞),不是思法函数;
当m为偶数时,定义域(-∞,0)∪(0,+∞),值域是(0,+∞),不是思法函数.
综上所述;幂函数y=xα(α∈Q)不是思法函数.
(3)令y=lnu,u=x2+2x+t.则u=(x+1)2+t-1
①当△=4-4t<0,即t>1时,恒有u≥t-1>0.
故ft(x)的定义域为R,值域为[ln(t-1),+∞),ft(x)不是思法函数;
②当△=4-4t≥0,即t≤1时,u=x2+2x+t能取(0,+∞)中的一切值,
故ft(x)的值域为R.定义域不是R,ft(x)是思法函数.
因此,ft(x)是思法函数⇔t∈(-∞,1].
又2t+1+3t+1≤k(2t+3t)⇔k≥
2t+1+3t+1
2t+3t,
令g(t)=
2t+1+3t+1
2t+3t,则k≥g(t)max.
∵g(t)=
2(
2
3)t+3
(
2
3)t+1=2+
1
(
2
3)t+1在(-∞,1]上是增函数,
故g(x)max=g(1)=
13
5.
所以k∈[
13
5,+∞).
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