设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 06:31:42
设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关.
证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示.
证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示.
(1)
a1,a2,a3线性无关,所以对于实数x,y,z,若xa1+ya2+za3=0,则x=y=z=0.(*)
a2,a3,a4线性相关,所以存在不全为零的实数u,v,w,使得ua2+va3+wa4=0
若w=0,则ua2+va3=0,由(*)知,u=v=0,矛盾!
所以有w≠0,a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,即a4可由a1,a2,a3线性表示
(2)
若a1可由a2,a3,a4线性表示,则不妨设a1=pa2+qa3+ra4,p,q,r∈R
又a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,带入有
a1=(p-ru/w)a2+(q-rv/w)a3,这与a1,a2,a3线性无关矛盾!
所以a1不能由a2,a3,a4线性表示
a1,a2,a3线性无关,所以对于实数x,y,z,若xa1+ya2+za3=0,则x=y=z=0.(*)
a2,a3,a4线性相关,所以存在不全为零的实数u,v,w,使得ua2+va3+wa4=0
若w=0,则ua2+va3=0,由(*)知,u=v=0,矛盾!
所以有w≠0,a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,即a4可由a1,a2,a3线性表示
(2)
若a1可由a2,a3,a4线性表示,则不妨设a1=pa2+qa3+ra4,p,q,r∈R
又a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,带入有
a1=(p-ru/w)a2+(q-rv/w)a3,这与a1,a2,a3线性无关矛盾!
所以a1不能由a2,a3,a4线性表示
线性代数 设α1,α2,α3 线性无关 问以下向量组是否线性无关?
设向量组α1α2α3线性相关,向量组α2α3α4线性无关,问:α4能否由α1α2α3线性表示
设向量组α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,证明向量α1必可表示为α2,α3,α4的线性组合
设向量组α1,α2,...,αn中,前n-1个向量线性相关,后n-1个向量线性无关,试讨论:
设向量组α1,α2,α3线性无关,证明:向量组α1+α3,α2+α3,α3也线性无关.
向量组α1,α2,α3,α4线性无关,α1,α2,α3,α5线性相关,试证明向量组α1,α2,α3,α4-α5线性无关
设向量组α1,α2,α3线性无关,证明α1,α1+α2,α1+α2+α3也线性无关
设向量α1,α2,α3,α4线性相关,α1,α2,α3是它唯一的一个极大线性无关组,证α4=0
设向量组α1,α2,…,αn线性无关,向量组β,α1,α2,…,αn线性相关β,α1,α2,…,αn证明有且仅有一个向量
线性代数向量证明题设α1,α2,α3,α4线性相关,但其中任意三个向量都线性无关,证明:必存在一组全不为零的数k1,k2
证明如果向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α1+α4线性相关.
设向量组α,β,γ线性无关,证明向量组α,α+β,α+β+γ也线性无关