神马作文网还是几何题 求角的度数
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 15:33:54
还是几何题 求角的度数
三角形ABC中,角A=60°,AC²=AB²+AB*BC,求角B 角C的度数
三角形ABC中,角A=60°,AC²=AB²+AB*BC,求角B 角C的度数
为方便起见,记AB=c,AC=b,BC=a.
由余弦定理,b²=c²+a^2-2ac*cosB,
而由题设条件,b²=c²+ac,
两式相减,得0=a^2-2ac*cosB-ac,
所以 a=c(2cosB+1),a/c=2cosB+1,
由正弦定理,a/c=sinA/sinC,因此
2cosB+1=sinA/sinC,
也即2cosBsinC+sinC=sinA,
sin(B+C)-sin(B-C)+sinC=sinA,
sin(Pi-A)-sin(B-C)+sinC=sinA,
故sin(B-C)=sinC,考虑到A,B,C是三角形ABC的内角,取值都在(0,Pi)之间,所以可推出B-C=C,所以B=2C,而A+B+C=180°,A=60°,故可求出
B=80°,C=40°.
(不好意思,对于初二的同学有另外一种做法如下：)
延长AB至D,使得BD=BC,于是三角形BCD为等腰三角形,∠BCD＝∠ADC.
∴AD=AB+BD=AB+BC,
由题设AC²=AB²+AB*BC,可知
AC²=AB(AB+BC)=AB*AD,
∴AB/AC=AC/AD,
∴△ABC 与 △ACD 相似,
∴∠ACB = ∠ADC
∴∠ABC = ∠ADC + ∠BCD = 2∠ADC = 2∠ACB,
∵∠ABC+ ∠ACB=180°- ∠A =120°,
∴3∠ACB=120°,∠ACB=40°,∠ABC =80°.
由余弦定理,b²=c²+a^2-2ac*cosB,
而由题设条件,b²=c²+ac,
两式相减,得0=a^2-2ac*cosB-ac,
所以 a=c(2cosB+1),a/c=2cosB+1,
由正弦定理,a/c=sinA/sinC,因此
2cosB+1=sinA/sinC,
也即2cosBsinC+sinC=sinA,
sin(B+C)-sin(B-C)+sinC=sinA,
sin(Pi-A)-sin(B-C)+sinC=sinA,
故sin(B-C)=sinC,考虑到A,B,C是三角形ABC的内角,取值都在(0,Pi)之间,所以可推出B-C=C,所以B=2C,而A+B+C=180°,A=60°,故可求出
B=80°,C=40°.
(不好意思,对于初二的同学有另外一种做法如下：)
延长AB至D,使得BD=BC,于是三角形BCD为等腰三角形,∠BCD＝∠ADC.
∴AD=AB+BD=AB+BC,
由题设AC²=AB²+AB*BC,可知
AC²=AB(AB+BC)=AB*AD,
∴AB/AC=AC/AD,
∴△ABC 与 △ACD 相似,
∴∠ACB = ∠ADC
∴∠ABC = ∠ADC + ∠BCD = 2∠ADC = 2∠ACB,
∵∠ABC+ ∠ACB=180°- ∠A =120°,
∴3∠ACB=120°,∠ACB=40°,∠ABC =80°.
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