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已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f′(x)+f(x)x>0,则关于x的函数g(x)=f(x)+1x的零点个

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/16 17:17:10
已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f′(x)+
f(x)
x
>0
已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f′(x)+f(x)x>0,则关于x的函数g(x)=f(x)+1x的零点个
由于函数g(x)=f(x)+
1
x,可得x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的,
故我们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点.
由于当x≠0时,f′(x)+
f(x)
x>0,
①当x>0时,(x•g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x )>0,
 所以,在(0,+∞)上,函数x•g(x)单调递增函数.
又∵
lim
x→0[xf(x)+1]=1,∴在(0,+∞)上,函数 x•g(x)=xf(x)+1>1恒成立,
因此,在(0,+∞)上,函数 x•g(x)=xf(x)+1 没有零点.
②当x<0时,由于(x•g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x )<0,
故函数 x•g(x)在(-∞,0)上是递减函数,函数 x•g(x)=xf(x)+1>1恒成立,
故函数 x•g(x)在(-∞,0)上无零点.
综上可得,函g(x)=f(x)+
1
x在R上的零点个数为0,
故选C.
再问: 嗯 这样能理解 高中的知识能解决么