三个连续正整数,中间一个完全是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”,问所有小于2008

三个连续正整数,中间一个完全是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”,问所有小于2008
三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”,问所有小于2008的美妙数的最大公因数是多少?

设中间的数是x^2(x为大于1的整数)
美妙数可表示为（x^2-1）·x^2· (x^2+1）（x≥2）
显然最小的美妙数是60（此时x=2,3×4×5=60）,所以所有美妙数的最大公因数一定小于或等于60,现证明最大公因数就是60
由于60=2×2×3×5,可以分别证明美妙数同时是3,4,5的倍数,那么命题就得证了.
首先由分解因式得到,任意美妙数（x^2-1）·x^2· (x^2+1）=（x-1）（x+1）·x·x· (x^2+1）
x-1,x,x+1是三个连续正整数,必有一个是3的倍数,所以他们的乘积也必然是3的倍数
然后如果x是偶数,那么x的平方必是4的倍数
如果x是奇数,那么x+1和x-1都是偶数,他们的乘积也是4的倍数
最后证明乘积是5的倍数
如果x是5的倍数,乘积是5的倍数
如果x除以5的余数是1,那么x-1是5的倍数,乘积也必然是5的倍数
如果x除以5的余数是4,那么x+1是5的倍数,乘积也必然是5的倍数
如果x除以5的余数是2,那么x^2+1是5的倍数【这是因为（5K+2）^2+1=25k^2+20k+5】
如果x除以5的余数是3,那么x^2+1也是5的倍数【这是因为（5K+3）^2+1=25k^2+30k+10】
所以无论如何乘积都必然是5的倍数
综上,最大公因数是60
再问： ^ 是什么意思啊~ 这是几种方法啊~ 能改成完全数字和字母的吗？
再答： 不好意思，x^2=x² 刚才不知道怎么打……
再问： 谢谢，这回我就懂了。
再答： 帮你修改一下吧 设中间的数是x²(x为大于1的整数) 美妙数可表示为（x²-1）·x²· (x²+1）（x≥2） 显然最小的美妙数是60（此时x=2，3×4×5=60），所以所有美妙数的最大公因数一定小于或等于60，现证明最大公因数就是60 由于60=2×2×3×5，可以分别证明美妙数同时是3，4，5的倍数，那么命题就得证了。 首先由分解因式得到，任意美妙数（x²-1）·x²· (x²+1）=（x-1）（x+1）·x·x· (x²+1） x-1，x，x+1是三个连续正整数，必有一个是3的倍数，所以他们的乘积也必然是3的倍数 然后如果x是偶数，那么x的平方必是4的倍数 如果x是奇数，那么x+1和x-1都是偶数，他们的乘积也是4的倍数 最后证明乘积是5的倍数 如果x是5的倍数，乘积是5的倍数 如果x除以5的余数是1，那么x-1是5的倍数，乘积也必然是5的倍数 如果x除以5的余数是4，那么x+1是5的倍数，乘积也必然是5的倍数 如果x除以5的余数是2，那么x²+1是5的倍数【这是因为（5K+2）²+1=25k²+20k+5】 如果x除以5的余数是3，那么x²+1也是5的倍数【这是因为（5K+3）²+1=25k²+30k+10】 所以无论如何乘积都必然是5的倍数 综上，最大公因数是60
再问： 谢谢。
再答： 呃，满意的话就采纳吧。这个就一种方法……