神马作文网三角形的外心垂心重心问题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/30 20:30:07
三角形的外心垂心重心问题
O,G,H分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证向量GH=2向量OG
O,G,H分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证向量GH=2向量OG
这个定理就是欧拉定理.以下为三种证法
欧拉线的证法1
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA‖CH,DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG’/MG’=AH/MO=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
编辑本段
欧拉线的证法2
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心 .联结AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点.
联结OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC.联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC.所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD.由于G为重心,则GA:GD=2:1.
联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点.同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
联结FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2.FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA.所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°.即O、G、H三点共线.
编辑本段
欧拉线的证法3
利用向量证明,简单明了
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.,D为BC边上的中点.
∵向量OH=向量OA+向量AH
=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）
=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD
=向量OA+向量OB+向量OC；
而向量OG=向量OA+向量AG
=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）…………………………………………………（2）
=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]
=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.
∴向量OG=1/3向量OH,
∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH.
再问： 欧拉线有什么性质？。。欧拉定理不是那个多面体的东西吗？
再答： 欧拉定理有很多个。。。（欧拉先生太强大了。。。有平面的多面体的数论的，，，反正好多） 详情可以到http://baike.baidu.com/view/48903.htm看。。。
欧拉线的证法1
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA‖CH,DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG’/MG’=AH/MO=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
编辑本段
欧拉线的证法2
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心 .联结AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点.
联结OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC.联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC.所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD.由于G为重心,则GA:GD=2:1.
联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点.同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
联结FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2.FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA.所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°.即O、G、H三点共线.
编辑本段
欧拉线的证法3
利用向量证明,简单明了
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.,D为BC边上的中点.
∵向量OH=向量OA+向量AH
=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）
=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD
=向量OA+向量OB+向量OC；
而向量OG=向量OA+向量AG
=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）…………………………………………………（2）
=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]
=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.
∴向量OG=1/3向量OH,
∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH.
再问： 欧拉线有什么性质？。。欧拉定理不是那个多面体的东西吗？
再答： 欧拉定理有很多个。。。（欧拉先生太强大了。。。有平面的多面体的数论的，，，反正好多） 详情可以到http://baike.baidu.com/view/48903.htm看。。。