已知正项数列{an}中,对于一切的n∈N*均有an2≤an-an+1成立.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/09 04:19:42
已知正项数列{an}中,对于一切的n∈N*均有an2≤an-an+1成立.
(1)证明:数列{an}中的任意一项都小于1;
(2)探究an与
(1)证明:数列{an}中的任意一项都小于1;
(2)探究an与
1 |
n |
(1)an2≤an-an+1,得an+1≤an-an2
∵在数列{an}中an>0,
∴an+1>0,
∴an-an2>0,
∴0<an<1
故数列{an}中的任意一项都小于1.
(2)由(1)知0<an<1=
1
1,
那么a2≤a1−
a21=−(a1−
1
2)2+
1
4≤
1
4<
1
2,
由此猜想:an<
1
n(n≥2).下面用数学归纳法证明:
①当n=2时,显然成立;
②当n=k时(k≥2,k∈N)时,假设猜想正确,即ak<
1
k≤
1
2,
那么ak+1≤ak−
a2k=−(ak−
1
2)2+
1
4<−(
1
k−
1
2)2+
1
4=
1
k−
1
k2=
k−1
k2<
k−1
k2−1=
1
k+1,
∴当n=k+1时,猜想也正确
综上所述,对于一切n∈N*,都有an<
1
n.
∵在数列{an}中an>0,
∴an+1>0,
∴an-an2>0,
∴0<an<1
故数列{an}中的任意一项都小于1.
(2)由(1)知0<an<1=
1
1,
那么a2≤a1−
a21=−(a1−
1
2)2+
1
4≤
1
4<
1
2,
由此猜想:an<
1
n(n≥2).下面用数学归纳法证明:
①当n=2时,显然成立;
②当n=k时(k≥2,k∈N)时,假设猜想正确,即ak<
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k≤
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2,
那么ak+1≤ak−
a2k=−(ak−
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2)2+
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4<−(
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k−
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2)2+
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k−
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k2=
k−1
k2<
k−1
k2−1=
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k+1,
∴当n=k+1时,猜想也正确
综上所述,对于一切n∈N*,都有an<
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n.
已知正项数列{an}中,对于一切的n∈N*均有an2≤an-an+1成立.
已知在正项数列{An}中,对于一切n∈N*均有An²≦An-A(n+1成立) ①证明:数列
已知数列An 的通项公式是 an=n2+kn+2,对于n∈N*都有an+1>an成立,则实数k的取值范
若数列{an}中,a1=3,且an+1=an2(n∈N*),则数列的通项an=______.
数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.设数列{bn}的前n项
已知数列{an}中,an>0且an2-2anSn+1=0,其中Sn为数列{an}的前n项和.
已知正实数An的前n项和为Sn,4Sn=An平方+2An-3对于一切正实数都成立,求数列An的通项公式
己知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0(n∈N*),且a3+2是a2,a4的等差中项.
已知各项均为正数的数列an中,a1=1,Sn为数列an的前n项和 若数列{an}{an2}都是等差数列,求数列{an}的
已知数列{an}中,a1=2,a(n+1)=an2+2an(n∈N*).(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列,
已知数列{an}的各项均为正数,Sn是数列{an}的前n项和,且4Sn=an2+2an-3.
已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(n∈N*).