数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 07:18:48
数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx
不会做的半桶水的别回答别碍事!
答案是2π/3
2sint是奇函数,但是e^(2sint)不是
不会做的半桶水的别回答别碍事!
答案是2π/3
2sint是奇函数,但是e^(2sint)不是
被积函数是偶函数,把区间放大到 [-pi,pi] 后积分也变成原来的2倍
注意到
e^(2cosx)cos(2sinx) = Re[e^(2e^{ix})]
所以只需计算出 I = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix})cos(3x) dx 即可
(可以理解为对 I 取实部,也可以利用奇偶性直接看出虚部为 0)
再注意到
e^(2e^{ix})cos(3x)=[e^(2e^{ix}+3ix)+e^(2e^{ix}-3ix)]/2
问题进一步转化为计算
I_1 = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix}+3ix) dx
I_2 = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix}-3ix) dx
对于 I_1,做代换 z = e^{ix} 得到一个整函数的围道积分,所以 I_1 = 0
对于 I_2,同样做代换 z = e^{ix} 得到
I_2 = -i \int_C e^{2z}/z^4 dz
其中 C 是单位圆周
利用 Cauchy 高阶导数公式,e^{2z} 在 z=0 处的 3 阶导数是 3I_2/pi,所以 I_2 = 8pi/3
代回去得到答案是 2pi/3
注意到
e^(2cosx)cos(2sinx) = Re[e^(2e^{ix})]
所以只需计算出 I = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix})cos(3x) dx 即可
(可以理解为对 I 取实部,也可以利用奇偶性直接看出虚部为 0)
再注意到
e^(2e^{ix})cos(3x)=[e^(2e^{ix}+3ix)+e^(2e^{ix}-3ix)]/2
问题进一步转化为计算
I_1 = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix}+3ix) dx
I_2 = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix}-3ix) dx
对于 I_1,做代换 z = e^{ix} 得到一个整函数的围道积分,所以 I_1 = 0
对于 I_2,同样做代换 z = e^{ix} 得到
I_2 = -i \int_C e^{2z}/z^4 dz
其中 C 是单位圆周
利用 Cauchy 高阶导数公式,e^{2z} 在 z=0 处的 3 阶导数是 3I_2/pi,所以 I_2 = 8pi/3
代回去得到答案是 2pi/3
数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx
证明定积分(0到π/2)sin^3x/(sinx+cosx)dx=定积分(0到π/2)cos^3x/(sinx+cosx
计算该定积分 ∫ (π/4 ,0) sinx /cos^2x dx
求定积分(0到π/2)sin^3x/(sinx+cosx)dx=?
∫(1+2cosx+cos²x)dx 求从0到2∏的定积分 HELP~
定积分 ∫(0到π) |cos x| dx
用换元法计算定积分∫【0到∏/2】cos(x/2)cos(3x/2) dx
定积分区间0-2/pai,根号下(cosx-cos^3x)dx,求定积分,见图
计算定积分∫(π/2 -π/2) x(sinx+cosx)^2 dx 函数y=sin^4x+cos^4x的导数是
定积分问题:范围是0到pi/2 ∫sin ^2x / sin x+cos x dx
求定积分x在0到π/2上 1/(cosx+sinx)dx
求解定积分∫e^(ax) cos(4x) dx 积分上下限为0到 π