几道大学微积分题目用拉格朗日中值定理求证:1,ex≤e^x2,x≤tanx(0≤x≤π/2)用罗必塔法则求极限:lim(
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/26 04:27:41
几道大学微积分题目
用拉格朗日中值定理求证:
1,ex≤e^x
2,x≤tanx(0≤x≤π/2)
用罗必塔法则求极限:
lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
用拉格朗日中值定理求证:
1,ex≤e^x
2,x≤tanx(0≤x≤π/2)
用罗必塔法则求极限:
lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
1.当x《0时,显然有ex≤e^x
当x>0时,要证ex≤e^x,只要证e^x/x-e》0,构造f(x)=e^x/x,所以f(1)=e
所有由拉格朗日中值定理,当x>1时,f(x)-f(1)=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于【1,x],显然
f(x)>f(1)
当x=1,f(x)=f(1)
当1>x>0时,f(x)-f(1)=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于[0,1],所以f(x)>f(1)
综合上述,e^x/x-e》0,即ex≤e^x
2,构造f(x)=tanx,f(0)=0,f(x)-f(0)=1/(cosa)^2(x-0),其中a属于【0,π/2】,显然f(x)-f(0)》x,所以x≤tanx
3.lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
=lim(x→0)e^{ln{1/e(1+x)^1/x}/1/x}
= lim e^{(1/x)ln(1+x)-1}/x
=lime^{ln(1+x)-x}/x^2(前面几步,恒等变形)
=lime^{1/(1+x)-1}/2x(罗必塔法)
=lime^-x/2x
=e^-1/2
当x>0时,要证ex≤e^x,只要证e^x/x-e》0,构造f(x)=e^x/x,所以f(1)=e
所有由拉格朗日中值定理,当x>1时,f(x)-f(1)=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于【1,x],显然
f(x)>f(1)
当x=1,f(x)=f(1)
当1>x>0时,f(x)-f(1)=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于[0,1],所以f(x)>f(1)
综合上述,e^x/x-e》0,即ex≤e^x
2,构造f(x)=tanx,f(0)=0,f(x)-f(0)=1/(cosa)^2(x-0),其中a属于【0,π/2】,显然f(x)-f(0)》x,所以x≤tanx
3.lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
=lim(x→0)e^{ln{1/e(1+x)^1/x}/1/x}
= lim e^{(1/x)ln(1+x)-1}/x
=lime^{ln(1+x)-x}/x^2(前面几步,恒等变形)
=lime^{1/(1+x)-1}/2x(罗必塔法)
=lime^-x/2x
=e^-1/2
几道大学微积分题目用拉格朗日中值定理求证:1,ex≤e^x2,x≤tanx(0≤x≤π/2)用罗必塔法则求极限:lim(
用洛必达法则求极限lim(x→0+)(1/x)∧tanx和lim(x→0)(x∧2×(e∧(1/x...
求极限,lim(x->0) (e^x-e^sinx ) / [ (tanx )^2 * ln(1+2x)]
求极限 lim x趋近于0 [e^(tanx-x) - 1]/(tanx-x)
用洛必达法则求极限lim【x→0+】(1/√x﹚^tanx
用洛必达法则求极限:lim (1/x)的tanx次幂 x→0
求极限lim (e^x)- (e^-x) -2x / (tanx-x) x趋向于0
lim(x→0)(x^2)[e^{(1/x^2) }]用洛必达法则求极限
两道大一高数题,求极限,..lim(x->0) (e^tanx-e^x)/(sinx-x)
几道极限题!1,lim(x->1)(1-x)tanπ/22,lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3
求极限 lim x趋向0(x+ex)1/x
lim(x->0)(e^x+e^-x-2)/ln(1+x^2) 求极限,我用洛必达法则可还是解