证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 16:48:29
证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H
必要性:
若H是G的子群,自然非空,并对乘法和取逆封闭,
从而H ≠ ∅,并对任意a,b ∈ H,有ab⁻¹ ∈ H.
充分性:
首先,由H ≠ ∅,可取a ∈ H,由条件得e = aa⁻¹ ∈ H,
因此H包含G的单位元e.
于是对任意b ∈ H,由条件得b⁻¹ = eb⁻¹ ∈ H,
因此H对取逆封闭.
而对任意a,b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,
进而由条件得ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H,
因此H对乘法封闭.
至此我们证明了,H对G的乘法封闭.
1) G作为群,其乘法自然满足结合律;
2) e ∈ H,e作为G的单位元,满足对任意a ∈ H,ae = ea = a;
3) 对任意b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,满足bb⁻¹ = b⁻¹b = e.
因此G的非空子集H关于G乘法构成群,即H是G的子群.
注:如果承认子群的等价定义:对乘法和取逆封闭的非空子集,
则充分性证明只需前半段.
若H是G的子群,自然非空,并对乘法和取逆封闭,
从而H ≠ ∅,并对任意a,b ∈ H,有ab⁻¹ ∈ H.
充分性:
首先,由H ≠ ∅,可取a ∈ H,由条件得e = aa⁻¹ ∈ H,
因此H包含G的单位元e.
于是对任意b ∈ H,由条件得b⁻¹ = eb⁻¹ ∈ H,
因此H对取逆封闭.
而对任意a,b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,
进而由条件得ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H,
因此H对乘法封闭.
至此我们证明了,H对G的乘法封闭.
1) G作为群,其乘法自然满足结合律;
2) e ∈ H,e作为G的单位元,满足对任意a ∈ H,ae = ea = a;
3) 对任意b ∈ H,有b⁻¹ ∈ H,满足bb⁻¹ = b⁻¹b = e.
因此G的非空子集H关于G乘法构成群,即H是G的子群.
注:如果承认子群的等价定义:对乘法和取逆封闭的非空子集,
则充分性证明只需前半段.
证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H
设G是群,a是G中一个元素.令 H = { x∈G∣ax = xa }. 试证H是G的一个子群.急!
设H,K分别是群G的阶为3,5的子群,证明H∩G={1}
设有限群G恰好具有两个n阶子群H,K,并且G由H,K生成,证明H,K是G的正规子群
设H是群G的子群,证明:对任意的g属于G ,集合K={g^-1hg|属于H}是G的子群,并证明H与K之间群同构
离散数学(子群)设f和g都是到的群同态,且H={x|x∈G1,f(x)=g(x)},证明H是G1的子群.
抽象代数证明:设H、K是群G的子群,则(H:H∪K) hK
群的证明题设K 和H 都是群G 的子群,试证,若H· K 是G 的子群,则K· H =H·K .
抽象代数证明题:设H是群G的一个非空子集,且H中每个元素的阶都有限.证明:H
设f :A→B,g :B→C是映射,又令h =g°f .证明:如果h是满射,那么g也是满射.
以物体由H高处自由落下,当物体的动能等于势能时,物体所经历的时间为( ).A.根号2H /g .B .根号H/g .
证明:(H,.)和(K,.)是群(G,.)的两个r阶和s阶子群,且r和s互素,则 H∩K ={e}.