求救：高中数学：线面垂直问题

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 05:28:32

求救：高中数学：线面垂直问题
已知A是△BCD外一点,AB⊥平面BCD,角BCD=90°,AD与平面BCD成45°,AD与平面ABC成30°,求AC与平面ABD所成的角的大小

因为AB⊥平面BCD,角BCD=90°,所以AB⊥CD,BC⊥CD,又AB交BC于点B,所以CD⊥平面BCD,所以∠CAD=30度,∠ADB=45度,由题可知△ABD为等腰直角三角形,设AB=1,则BD=1,AD=√2,CD=√2/2,AC=√6/2.过点C作CE⊥BD,连接AE,则∠CAE为所求.在直角三角形ABC中,由勾股定理得BC=√2/2,所以△BCD是等腰直角三角形,则CE=1/2,BE=1/2.在直角三角形ABE中,由勾股定理得AE=√5/2.在△ACE中,用余弦定理有cos∠CAE=(AC^2+AE^2-CE^2)/(2AC*AE)
=√30/6.所以∠CAE=arccos(√30/6).

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