神马作文网关于函数单调性问题 已知函数f(x)=x^3+ax^2-2x+5是否存在正整数a,使得f(x)在x∈(-3,1/6)上必
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/06 20:38:48
关于函数单调性问题
已知函数f(x)=x^3+ax^2-2x+5
是否存在正整数a,使得f(x)在x∈(-3,1/6)上必为单调函数?
若存在,试求出a的值,若不存在,请说明理由
已知函数f(x)=x^3+ax^2-2x+5
是否存在正整数a,使得f(x)在x∈(-3,1/6)上必为单调函数?
若存在,试求出a的值,若不存在,请说明理由
a存在 且a=1或2或3或4 求导后有 f`(x)=3x^2+2ax-2 为二次函数模型 且有b^2-4ac=4a^2+24 恒大于0 所以 a∈R ① 当f(x)=x^3+ax^2-2x+5
在x∈(-3,1/6)上单调递增 则有f`(x)最小值大于0 即(4ac-b^2)/4a大于0 化简后有4a^2+24小于0 解得 此时a不存在 ② 当f(x)=x^3+ax^2-2x+5
在x∈(-3,1/6)上单调递减时 则有f`(x)的两根 (-a+根号(a^2+6))/3 和(-a-根号(a^2+6))/3 分别大于1/6 和小于-3 即 (-a+根号(a^2+6))/3大于1/6 (-a-根号(a^2+6))/3小于-3 解得 a小于23/4 或 a小于25/6 将上述2解取其交集有 a小于25/6 所以可以取 1.2.3.4
在x∈(-3,1/6)上单调递增 则有f`(x)最小值大于0 即(4ac-b^2)/4a大于0 化简后有4a^2+24小于0 解得 此时a不存在 ② 当f(x)=x^3+ax^2-2x+5
在x∈(-3,1/6)上单调递减时 则有f`(x)的两根 (-a+根号(a^2+6))/3 和(-a-根号(a^2+6))/3 分别大于1/6 和小于-3 即 (-a+根号(a^2+6))/3大于1/6 (-a-根号(a^2+6))/3小于-3 解得 a小于23/4 或 a小于25/6 将上述2解取其交集有 a小于25/6 所以可以取 1.2.3.4
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