证明题:设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 01:26:54
证明题:设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.
这道题在不同的阶段可以有不同的方法.
如果学了Jordan标准型和矩阵的最小多项式,可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的).
由A²-A = 2E,知x²-x-2 = (x-2)(x+1)是A的一个化零多项式.
注意到该多项式没有重根,而最小多项式必为化零多项式的因式,可知A的最小多项式没有重根.
因此A可对角化.
如果是没学Jordan标准型,可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其任意特征值的几何重数 = 代数重数.
这里特征值λ的几何重数是指AX = λX的解空间维数,
代数重数是指其作为A的特征多项式的根的重数(可证明几何重数 ≤ 代数重数).
因为属于不同特征值的特征向量线性无关,上述条件等价于可以找到n个线性无关的特征向量.
由A²-A = 2E,知(A+E)(A-2E) = 0.
于是r(A+E)+r(A-2E)-n ≤ r((A+E)(A-2E)) = 0,即r(A+E)+r(A-2E) ≤ n.
-1作为A的特征值的几何重数 = n-r(A+E),而2的几何重数 = n-r(A-2E).
于是由n ≥ -1的代数重数+2的代数重数
≥ -1的几何重数+2的几何重数
= n-r(A+E)+n-r(A-2E)
≥ n,
可知A没有-1,2以外的特征值,且-1和2的几何重数 = 代数重数,因此A可对角化.
如果学了Jordan标准型和矩阵的最小多项式,可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的).
由A²-A = 2E,知x²-x-2 = (x-2)(x+1)是A的一个化零多项式.
注意到该多项式没有重根,而最小多项式必为化零多项式的因式,可知A的最小多项式没有重根.
因此A可对角化.
如果是没学Jordan标准型,可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其任意特征值的几何重数 = 代数重数.
这里特征值λ的几何重数是指AX = λX的解空间维数,
代数重数是指其作为A的特征多项式的根的重数(可证明几何重数 ≤ 代数重数).
因为属于不同特征值的特征向量线性无关,上述条件等价于可以找到n个线性无关的特征向量.
由A²-A = 2E,知(A+E)(A-2E) = 0.
于是r(A+E)+r(A-2E)-n ≤ r((A+E)(A-2E)) = 0,即r(A+E)+r(A-2E) ≤ n.
-1作为A的特征值的几何重数 = n-r(A+E),而2的几何重数 = n-r(A-2E).
于是由n ≥ -1的代数重数+2的代数重数
≥ -1的几何重数+2的几何重数
= n-r(A+E)+n-r(A-2E)
≥ n,
可知A没有-1,2以外的特征值,且-1和2的几何重数 = 代数重数,因此A可对角化.
证明题:设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.
设n阶矩阵A满足A^2-3A+2E=0,证明A可相似对角化.
A为n阶矩阵,且A^2-A=2E,证明A可以对角化
设A为2阶矩阵,且|A|=-1,证明A可以对角化
矩阵A的特征值都为正负一,且可相似对角化,证明A^2=E
设A为n阶方阵,r(A)=r1,r(A+E)=r2,r(A+2E)=r3,且r1+r2+r3=2n.证明A可对角化.
设A为n阶方阵,r(A)=r1,r(A+E)=r2,r(A+2E)=r3,且r1+r2+r3=2n,证明A可对角化.
设A可逆矩阵且可对角化,证明A^(-1)也可以对角化
证明:设A为n阶矩阵,A的平方等于A ,证明A一定能相似对角化.
已知n阶方阵A满足A^2+2A-3E=0,证明A可对角化
求做大学数学题证明:设A为n阶矩阵,但 ,证明A不能相似对角化.
设n阶矩阵A满足A^2=E,且|A+E|≠0,证明A=E