证明完全平方数除以8的余数只可能是0,1,4这三种可能,并用这个结论证明满足等式:a^2+b^2=c^2的正整数a、b、
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 06:28:14
证明完全平方数除以8的余数只可能是0,1,4这三种可能,并用这个结论证明满足等式:a^2+b^2=c^2的正整数a、b、c必有一个是4的倍数.
要使得完全平方数÷8,那么得将所有整数分为4类.(因为4的平方才能构造出8的倍数)
铺垫一下剩余类.
所有整数可以由一个数的剩余类来划分.
例如:9可以分为9个剩余类:9-{0}、9-{1}、9-{2}、9-{3}、9-{4}、9-{5}、9-{6}、9-{7}、9-{8}.
听起来似乎是新概念,实际上就是每个数除以9都有余数,按照余数将它们划分.
(整除默认余数为0)
也就是说,所有整数按照剩余类划分为:
4n+1、4n+2、4n+3、4n
(1)(4n+1)^2=16n^2+8n+1,这个代数式÷8余1
(2)(4n+2)^2=16n^2+16n+4,这个代数式÷8余4
(3)(4n+3)^2=16n^2+24n+9,这个代数式÷8余1
(4)4n^2=16n^2,这个代数式÷8余0
第一问证明完毕!
既然第一问已经有余数结论了,对于a^2+b^2=c^2,使用同余来解方程.
反证:
假若a、b、c三个数中均没有4的倍数,
那么a^2、b^2、c^2这三个数÷8的余数只能为1或者4,
而1+1、1+4、4+4这三种情况÷8的余数都不为或者1、4,于是c^2无法存在!
(实际上,假若允许4的倍数存在与a、b、c中,以下式子成立:1+0≡1以及4+4≡0,模都是8)
第二问证毕.
铺垫一下剩余类.
所有整数可以由一个数的剩余类来划分.
例如:9可以分为9个剩余类:9-{0}、9-{1}、9-{2}、9-{3}、9-{4}、9-{5}、9-{6}、9-{7}、9-{8}.
听起来似乎是新概念,实际上就是每个数除以9都有余数,按照余数将它们划分.
(整除默认余数为0)
也就是说,所有整数按照剩余类划分为:
4n+1、4n+2、4n+3、4n
(1)(4n+1)^2=16n^2+8n+1,这个代数式÷8余1
(2)(4n+2)^2=16n^2+16n+4,这个代数式÷8余4
(3)(4n+3)^2=16n^2+24n+9,这个代数式÷8余1
(4)4n^2=16n^2,这个代数式÷8余0
第一问证明完毕!
既然第一问已经有余数结论了,对于a^2+b^2=c^2,使用同余来解方程.
反证:
假若a、b、c三个数中均没有4的倍数,
那么a^2、b^2、c^2这三个数÷8的余数只能为1或者4,
而1+1、1+4、4+4这三种情况÷8的余数都不为或者1、4,于是c^2无法存在!
(实际上,假若允许4的倍数存在与a、b、c中,以下式子成立:1+0≡1以及4+4≡0,模都是8)
第二问证毕.
证明完全平方数除以8的余数只可能是0,1,4这三种可能,并用这个结论证明满足等式:a^2+b^2=c^2的正整数a、b、
a.b.c为正整数,a的平方+b的平方=c的平方,a为质数. 证明:2(a+2b-c+2)是完全平方数
若a,b是正整数证明(a^4+b^4+(a+b)^4)/2是完全平方数
a,b是整数,若对所有正整数n,(2^n)a+b为完全平方数,证明:a=0
a=A^2+A^2×B^2+B^2,证明a是完全平方数
a,b是正整数,若(ab+1)|(a^2+b^2),证明:(a^2+b^2)/(ab+1)是完全平方数.
若正整数a,b满足a*b是奇数,证明不存在正整数c,d,使a2+b2+c2=d2(2是平方.)反证法.
若对一切正整数ax^2+bx+c都是完全平方数,证明:a,b,c都是整数且c为完全平方数.
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