如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/21 03:15:42

证明：（1）∵PO⊥PQ,
∴∠APO+∠BPQ=90°,
在Rt△AOP中,∠APO+∠AOP=90°,
∴∠BPQ=∠AOP,
∴△AOP∽△BPQ,则 APOA=BQBP,
即OA•BQ=AP•BP．（3分）
（2）∵OA•BQ=AP•BP,即BQ= m(4-m)3,
∴l=3- 4m-m23=13(m2-4m+4)+53=13(m-2)2+53
∴当m=2时,l有最小值 53．（6分）
（3）解法一：
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上,∠OPQ=90°
∴PO=PQ,又△AOP∽△BPQ,
∴△AOP≌△BPQ
∴PB=AO,即3=4-m,
∴m=1,即P点坐标（1,3）（8分）
②若P在线段AB的延长线上,PQ交CB的延长线于Q,PO=PQ,
又∵△AOP∽△BPQ,
∴△AOP≌△BPQ,
∴AO=PB,即3=m-4,即P点的坐标（7,3）,
故存在P1（1,3）,P2（7,3）使△POQ为等腰三角形．（10分）
解法二：
∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ,
即PA2+AO2=PB2+BQ2（7分）
则m2+32=（4-m）2+（ 4m-m2/3）2（8分）
整理得m4-8m3+16m2-72m+63=0
m4-8m3+7m2+9m2-72m+63=0
m2（m2-8m+7）+9（m2-8m+7）=0
（m-1）（m-7）（m2+9）=0
∴m1=1,m2=7,m2=-9（舍去）
故存在P1（1,3）,P2（7,3）使△POQ为等腰三角形．（10分）