A是三阶实对称矩阵,若AA=0,证明A=0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/24 05:30:16
想复杂了,用秩很简单的AA^T是m阶方阵而r(AA^T)
设k1a+k2Aa=0(*)等式两边左乘A得k1Aa+k2A^2a=0由A^2a=0知k1Aa=0再由Aa≠0知k1=0代入(*)式得k2Aa=0同理得k2=0.所以k1=k2=0所以向量组a,Aa线
用这个思路证.因为A2=0,且A为对称矩阵(即a(i,j)=a(j,i)),所以矩阵A里面的任一元素满足∑a(i,j)?j,i)=0,所以a(i,j)=0.因为a(i,j)是任意的,所以A=0.得证.
这个吗,有点难,等我宿舍的研究出来了再告诉你啊~
|A|E是矩阵的数乘一般情况:A=(aij),则kA=(kaij).即矩阵A中每个元素都乘k所以|A|E=|A|0...00|A|...0....00...|A|
A为实对称矩阵,则A~ΛΛ=P^(-1)AP,A=PΛP^(-1)B=A^2-2A-E=PΛ^2P^(-1)-2PΛP^(-1)-PEP^(-1)=P(Λ^2-2Λ-E)P^(-1)P^(-1)BP=
A'是A的转置吧根据矩阵乘法定义,AA'的第i行第j列元素等于A的第i行和A'的第j列(也就是A的第j行的转置)的积.所以AA'第i个对角线上的元素是A的第i个行向量和自己转置后点乘的结果,也就是自己
因为AA'=0,所以任意m维列向量x,有x'AA'x=0,即(A’x)'A'x=0即||A‘x||=0即A’x=0由x的任意性A'=0,所以A=0再问:(A’x)'A'x=0和AA'=0有什么区别?再
根据转置矩阵的性质(AB)'=B'A'以及(A')'=A有(A'A)'=A'(A')'=A'A,所以A'A是对称矩阵.同理(AA')'=(A')'A'=AA'所以AA'也是对称矩阵.
实对称阵于是A=A‘(A的转置),那么A²=AA’=0设A=(aij),那么AA‘=(∑(aij)²),于是(∑(aij)²=0,aij=0,对1≤i,j≤n,这就证明了
第一题:A^3=A^2*A=0则有秩(A^2)+秩(A)
因为B^T=(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T=B所以B是对称矩阵
一个更正,问题中的“a=2/3”似乎有误,应为“a^Ta=2/3”首先可知A是一个对称阵,那么AA^T=E就等价于(E-3aa^T)(E-3aa^T)=E,展开就得E-6aa^T+9(a^Ta)(aa
因为|A|=|A^T|≠0所以A^T可逆A^-1=(A^T)^-1=(A^-1)^T所以A^-1为对称阵
令B=A',则B'B=0所以对任意n维列向量x都有x'B'Bx=0即有(Bx)'Bx=0.所以Bx=0取ei=(0,...,0,1,0,...,0)',第i个分量等于其余为0的n维向量.i=1,2,.
做谱分解A=QΛQ^T然后取对角阵D使得D^3=ΛB=QDQ^T就满足条件再问:什么是谱分解啊?再问:什么是谱分解啊?再问:什么是谱分解啊?
(T^-1AT)的转置=T的转置*A的转置*T^-1的转置因为T是正交阵,所以T的转置=T-1因为A是实对称阵,所以A的转置=A则(T^-1AT)的转置=T的转置*A的转置*T^-1的转置=T^-1*
必要性:(1)AB是对称矩阵=>(AB)'=AB(2)又(AB)'=B'A',且A,B为对称矩阵=>A'=A,B'=B故(AB)'=B'A'=BA由(1)(2)知AB=BA充分性:AB=BA,而A,B
证:(1)因为r(AA^T+BB^T)0所以A^TA是正定矩阵同理B^TB是正定矩阵所以A^TA+B^TB是正定的故有|A^TA+B^TB|>0.