AB是⊙O的直径ab=8cbd 30°

连接OC,交AD于E.因为C、D是三等分点,所以OC垂直AD,平分AD.所以三角形ACE全等于三角形ODE.阴影部分面积S=扇形OCD的面积圆心角60度,半径4CM,代公式得面积S=8pai/3

1.证明：∵弦CD垂直于直径AB∴AB垂直平分CD【垂径定理】∴BD=BC∴∠BDC=∠BCE∵EC=EB∴∠EBC=∠BCE∴∠EBC=∠BDC∴⊿CEB∽⊿CBD（AA‘）2.∵⊿CEB∽⊿CBD

【1.先证明∠OBC=90°】∵OB=OE∴∠CEB=∠OBE∵∠CBD=∠CEB∴∠OBE=∠CBD∵ED是⊙O的直径∴∠OBE+∠OBD=∠DBE=90°∴∠OBC=∠CBD+∠OBD=90°【2

证明：连接BC，∵AB、CD是⊙O的两条直径，∠AOD=∠BOC，∴弧BC=弧AD．∵CE∥AB，∴弧BC=弧AE．∴弧AD=弧AE．∴AD=AE．

连接OC,OD∵∠CAD=30°∴∠COD=30°∵OC＝OD∴△OCD是等边三角形∴CD=1/2AB=3

连接AC,BC因为AB是直径,弦CD垂直AB于P所以CP=1/2CD=4因为∠B=30°,角CPB=90度所以CB=CP/SIN30=4/0.5=8又因为角ACB=90度所以直径AB=CB/COS30

∵AB为直径，CD⊥AB∴PC=PD∵CD=8∴PC=PD=4（3分）设AP=x，则PB=4x由相交弦定理，得x×4x=4×4∴x=2∴AB的长为10．（6分）

连接OD,DF⊥OF,2×OF=OC=OD,所以∠DOF=60°,因为OC⊥AB所以∠DOA=30°,因为△DOB为等腰三角形,∠DOA为外角,等于∠ODB+∠OBD,所以∠DBA=15°,因为∠CB

作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB=180°3=60°，∠BON′=180°6=30°，∴∠MO

设AP=x,所以PB=4xAO=(AP+PB)/2=2.5xPO=AO-AP=1.5x因为CD=8所以CP=4AO=CO=2.5x所以CP^2+OP^2=OC^2所以4^2+(1.5x)^2=(2.5

由割线长定理得：PA•PB=PC•PD即4×PB=5×（5+3）∴PB=10∴AB=6∴R=3，所以△OCD为正三角形，∠CBD=12∠COD=30°．

作AE,BF,OP垂直CD于EFPAEFB是梯形,OP是该梯形的中位线,所以OP=1/2(AE+BF)由垂径定理可以得到CP=DP=1/2CD=4cm所以OP=sqrt(5^2-4^2)=3cmAE+

∠CBD的度数为三十度设半径为x,因为DE平行AB,且DE过F,所以DE垂直OC所以OF=FC=二分之一x又在直角三角形ODF中,OF是OD的一半,所以∠ODF为三十度,∠COD为六十度,又同弧所对的

由题知；AB是圆O的直径,弦CD垂直AB于P,连接O与C,若AP:PB=1:4,设AP=m,PB=4m所以OC=OA=OB=(OA+OB)/2=(AB)/2=5m/2PO=OA-AP=5m/2-m=3

如图1所示，连接BC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=∠D=90°，∴sin∠ABC=ACAB=12，∴∠ABC=30°．∵sin∠ABD=ADAB=32，∴∠ABD=60°，∴∠DAC=∠CBD=

应该是∠CAD=∠ABC吧证明：∵AB是圆的直径∴∠C=90°∠B+∠CAB=90°又∠CAD=∠B∴∠CAD+∠CAB=90°∠DAB=90°即OA⊥ADOA是半径∴AD与圆O相切

解题思路：连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的

连接OC,OD,∴∠COD=2∠CBD=90°,（同弧所对圆心角是圆周角2倍）∴三角形COD为等腰直角三角形．∵直径AB=10cm∴OC=OD=5cm,∴由勾股定理易得CD=5√2cm

连接OC，OD，则∠COD=2∠CBD=90°，所以三角形OCD为等腰直角三角形．∵直径AB=8cm∴OC=OD=4cm，∴CD=42+42=42cm．