在△ABC,AB=AC,EF为过点A的任一直线

证明：作AG⊥BC于G∵AB=AC∴AG是等腰三角形ABC的中线【三线合一】∴BG=CG∵BE⊥BC,AG⊥BC,CF⊥BC∴BE//AG//CF∴BG/CG=AE/AF∴AE=AF

连接DF、DE.D、E为AB、BC的中点,所以DE//AC.AC垂直BC,所以DE垂直BC同理可证DF垂直AC所以四边形DECF为四个角都垂直的长方形.所以CD=EF

证明：如图．在AB上取D使FD=AF．连ED并延长交圆于G．连BG…（5分）则有∠1=∠2=∠3．∠1=∠G．∴∠3=∠G，BG=BD，又因为∠BAC=180-2∠1=180-（∠1+∠2）=∠AEG

作AC的延长线AB1=AB,连接BB1,得AB-AC=CB1△BAB1为等腰三角形,根据角平分线的性质BF垂直AD于F,F即平分线AD与BB1的交点,得F是BB1的中点又∵E为BC中点,∴EF=1/2

证明：连接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF为AB的垂直平分线，∴BF=AF，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=120°-30°=90°，∵∠C=30°，∴AF=

证明：连接CG交AB于点H,由于G是△ABC的重心,可知CG：GH=2：1,于是CG：CH=2：3因为DF//AB,所以DF：AB=CD：CB=CG：CH=2：3,所以DF=2/3AB因为DE//AC

连结AF,∵EF为AB的垂直平分线∴BF=AF∴∠AFC=2∠B=60°∴∠FAC=90°∴FC=2AF=2BF

反向延长AB,至G点.使AG=AC,连接DG,BG=AB+AC

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AB=AC,AD是BC边上的中线根据三线合一得到AD是BC边的高.即AD⊥BC,即ED⊥BC又因为EF⊥AB所以EF=ED角平分线上的点到角两边的距离相等

1）0＜x＜122)作AH垂直BC于H,交DG于M.则BH=HC=6,AH=8.DG∥BC,则△ADG∽△ABC,AM/AC=DG/BC,即：（AH-MH)/AC=EF/BC,(8-MH)/8=x/1

连接AF∵∠BAC=120°,AB=AC∴∠B=∠C=30°∵EF垂直平分AB∴AF=BF∴∠BAF=∠B=30°∴∠CAF=90°∴AF=1/2×CF∴BF=1/2×CF

证明：过F点做FG‖AC交BC于G,又因为AB=AC,所以FB=FG=CD因为∠FEG=∠CED,∠GFE=∠CDE,所以△CDE≌△FGE,所以EF=ED

好多年没做数学题了,给你说个大概吧,作直线AD垂直于BC,证BD=CD,再作EG,FH平行欲BC,延长AD交EG,FH,过程自己写吧,好长时间不做,一些公理都不记得了

延长BE交FC于H∵AB = AC∴∠ABC = ∠ACB∵CF⊥BC∴∠HBC + ∠BHC = ∠ACB 

证明：作AD⊥BC于D∵AB=AC∴⊿ABC是等腰三角形,根据三线合一∴BD=CD∵CF⊥BC,BE⊥BC,AD⊥BC∴BE//AD//FC∴AE/AF=BD/CD=1∴AE=AF

证明延长BA到点G,使AG=AB,连接DG∵EF‖BC∴∠GAF=∠ABC∠FAC=∠ACB又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∴∠GAF=∠FAC∴∠GAD=∠DAC又∵AD=ADAG=AC∴△DAG

证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠3+∠ABC=∠C+∠ABC=90°，∴∠3=∠C，∵EF∥AC，∴∠C=∠EFB，∴∠EFB=∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，在△ABE和△BFE中

BE+FC>EF,证明如下证：如图,延长ED至G,使得ED=DG,连接BG,CG.∵在△BDE和△CDG中,BD=CD ∠BDE=∠CDG DE=DG∴△BDE≌△CDG∴B

C.EA=ED