神马作文网求函数f(x)=（根号下3x+6)+(根号下8-x)的最大值和最小值
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 06:23:38
求函数f(x)=（根号下3x+6)+(根号下8-x)的最大值和最小值
答案是最大值=2根号10和根号10.
答案是最大值=2根号10和根号10.
这道题要设法转换为三角函数来求极值.
∵f(x)=√(3x+6)+√(8-x)=√3(x+2)+√(8-x).
且[√(x+2)]^2+[√8-x)]=10.
设√(x+2)=√10sinα,√8-x)=√10cosα,α∈[0,π/2]
则,原式=√30sinα+√10cosα
=2√10[(√3/2)sinα+(1/2)cosα].
=2 √10sin(α+π/6).
∵0≤α≤π /2,π/6≤α+π/6≤2π/3.
∴ 1/2≤sin(α+π/6)≤1.
∴f(x)max=2 √10,
f(x)min=2√10*(1/2)=√10.
附带说明一下：为什么sin(α+π/6)min≠0,因为 α+π/6=0,α=-α/6,这不符合α∈[0,π/2]的假设,
故取sin(α+π)min=sinπ/6=1/2.
又因 sin(α+π/6)=1.α+π/6=π/2,a=π/3,α∈[0,π/2].
故可取sin(α+π/6)max=1.
∵f(x)=√(3x+6)+√(8-x)=√3(x+2)+√(8-x).
且[√(x+2)]^2+[√8-x)]=10.
设√(x+2)=√10sinα,√8-x)=√10cosα,α∈[0,π/2]
则,原式=√30sinα+√10cosα
=2√10[(√3/2)sinα+(1/2)cosα].
=2 √10sin(α+π/6).
∵0≤α≤π /2,π/6≤α+π/6≤2π/3.
∴ 1/2≤sin(α+π/6)≤1.
∴f(x)max=2 √10,
f(x)min=2√10*(1/2)=√10.
附带说明一下：为什么sin(α+π/6)min≠0,因为 α+π/6=0,α=-α/6,这不符合α∈[0,π/2]的假设,
故取sin(α+π)min=sinπ/6=1/2.
又因 sin(α+π/6)=1.α+π/6=π/2,a=π/3,α∈[0,π/2].
故可取sin(α+π/6)max=1.
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