证明r(a+b)≦r(a)+r(b)

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 17:08:48

证明r(a+b)≦r(a)+r(b)
a,b是m×n的同型矩阵,

AB,是m×n的矩阵,
设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组
β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组.
那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出,
B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.
于是
A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.
因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,
α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,
即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)
再问：为什么r t=r(a) r(b)呢？
再答： α(i1),α(i2),...,α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)如果线性无关的话就是等于

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