舒尔不等式和赫尔德不等式的习题?

舒尔不等式和赫尔德不等式的习题?
最好要难一点的

舒尔（Schur）不等式 说明,对于所有的非负实数x、y、z和正数t,都有：已知x,y,z>=0 则∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0 当且仅当x = y = z,或其中两个数相等而另外一个为零时,等号“=”成立.当t是正的偶数时,不等式对所有的实数x、y和z都成立.舒尔(schur)不等式的证明：不妨设x>=y>=z ∑x(x-y)(x-z) =x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y) >=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z) >=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z) =(x-y)^2(y-z) >=0 t不是1时同理可证 事实上,当t为任意实数时,我们仍可证明Schur不等式成立.Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式,但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用.赫尔德不等式 是数学分析的一条 不等式 ,取名自奥图·赫尔德(Otto lder).这是一条揭示L p 空间的相互关系的基本 不等式 ：设S为测度空间,及,设f在L p (S)内,g在L q (S)内.则f g在L 1 (S)内,且有 .若S取作{1,...,n}附计数测度,便得 赫尔德不等式 的特殊情形：对所有实数（或复数）x 1 ,...,x n ; y 1 ,...,y n ,有 .我们称p和q互为 赫尔德共轭 .若取S为自然数集附计数测度,便得与上类似的无穷级数 不等式 .当p = q = 2,便得到柯西-施瓦茨 不等式 .赫尔德不等式 可以证明L p 空间上一般化的三角 不等式 ,闵可夫斯基 不等式 ,和证明L p 空间是L q 空间的对偶.[编辑] 备注 在赫尔德共轭的定义中,1/∞意味着零.如果1 ≤ p,q < ∞,那么||f || p 和||g|| q 表示（可能无穷的）表达式：以及 如果p = ∞,那么||f || ∞ 表示|f |的本性上确界,||g|| ∞ 也类似.在 赫尔德不等式 的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味着 0.把a > 0乘以∞,则得出 ∞.[编辑] 证明 赫尔德不等式 有许多证明,主要的想法是杨氏 不等式 .如果||f || p = 0,那么f μ-几乎处处为零,且乘积fg μ-几乎处处为零,因此 赫尔德不等式 的左端为零.如果||g|| q = 0也是这样.因此,我们可以假设||f || p > 0且||g|| q > 0.如果||f || p = ∞或||g|| q = ∞,那么 不等式 的右端为无穷大.因此,我们可以假设||f || p 和||g|| q 位于(0,∞)内.如果p = ∞且q = 1,那么几乎处处有|fg| ≤ ||f || ∞ |g|,不等式 就可以从勒贝格积分的单调性推出.对于p = 1和q = ∞,情况也类似.因此,我们还可以假设p,q ∈ (1,∞).分别用f和g除||f || p ||g|| q ,我们可以假设：我们现在使用杨氏 不等式 ：对于所有非负的a和b,当且仅当a p = b q 时等式成立.因此：两边积分,得：这便证明了 赫尔德不等式 .在p ∈ (1,∞)和||f || p = ||g|| q = 1的假设下,等式成立当且仅当几乎处处有|f | p = |g| q .更一般地,如果||f || p 和||g|| q 位于(0,∞)内,那么 赫尔德不等式 变为等式,当且仅当存在α,β > 0（即α = ||g|| q 且β = ||f || p ）,使得：μ-几乎处处 (*) ||f || p = 0的情况对应于(*)中的β = 0.||g|| q = 的情况对应于(*)中的α = 0.[编辑] 参考文献 Hardy,G.H.; J.E.Littlewood & G.Pólya (1934),Inequalities,Cambridge Univ.Press,ISBN 0521358809 lder,O.(1889),"Ueber einen Mittelwerthsatz",Nachr.Ges.Wiss.ttingen:38–47 Kuptsov,L.P.(2001),"H?lder inequality",in Hazewinkel,Michiel,数学百科全书,克鲁维尔学术出版社,ISBN 978-1556080104 Rogers,L J.(1888),"An extension of a certain theorem in inequalities",Messenger of math 17 :145–150 Kuttler,Kenneth (2007),An introduction to linear algebra,Online e-book in PDF format,Brigham Young University 邢家省,Young 不等式 在Lp空间中的应用,聊城大学学报（自然科学版）.2007年 第3期,第20卷 .于2009-10-27访问.张愿章,Young 不等式 的证明及应用,河南科学.2004年 第01期,第22卷 .于2009-10-27访问.取自“ http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B5%AB%E5%B0%94%E5%BE%B7%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F ”