神马作文网高中指数函数单调性证明
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/23 18:37:42
高中指数函数单调性证明
y=2^x 求证单调性,我正在上高一,能否用简单一点的,比如利用单调性的定义,还有,我在证明时遇到的情况也说一下,以下为错解：
解法一：设x1＜x2,设c=x2-x1＞0
f（x1）-f（x2）=2^x1-2^x2
=2^x1(1-x^c)
∵c＞0
∴1＜x^c（这一步怎么得来的?难道不是用单调性的定义证明的?）
解法二：设x1＜x2,设c=x2-x1＞0
f（x1）除以f（x2）=2^(x1-x2)
∵x1-x2＜0
∴2^(x1-x2)＜2^0=1 (这不也是利用单调性么,利用单调性证明单调性?）
以上两种解法都会陷入循环之中,所以求单调性定义的正解,
y=2^x 求证单调性,我正在上高一,能否用简单一点的,比如利用单调性的定义,还有,我在证明时遇到的情况也说一下,以下为错解：
解法一：设x1＜x2,设c=x2-x1＞0
f（x1）-f（x2）=2^x1-2^x2
=2^x1(1-x^c)
∵c＞0
∴1＜x^c（这一步怎么得来的?难道不是用单调性的定义证明的?）
解法二：设x1＜x2,设c=x2-x1＞0
f（x1）除以f（x2）=2^(x1-x2)
∵x1-x2＜0
∴2^(x1-x2)＜2^0=1 (这不也是利用单调性么,利用单调性证明单调性?）
以上两种解法都会陷入循环之中,所以求单调性定义的正解,
这两种证明方法都没有循环论证的问题.两种证明方法中,我们用到的性质都是2的正数次幂大于1,这个性质并不是指数函数单调性的一个推论,而是可以从指数的定义中直接得出来的.问题在于,高中阶段根本无法解释像2的根号2次方怎么定义的问题,所以才不能直接证明这个性质.因为有理数次幂是有定义的,所以下面可以给出一个证明2的正有理数次幂大于1的证明：
1、2的正整数次幂大于1.这个可以用归纳法来证明.n=1,2>1,n=k,2^k>1,n=k+1,2^n=2^（k+1）>2>1,从而对正整数,命题成立.
2、小于1的正数的正整数次幂小于1.这个也可以用归纳证明.
3、2的正有理数次幂大于1.这个可以用反证法证明.（1）2的正有理数次幂大于0.（这个看起来显然,不过还是需要证明的）.（2）假若,存在2的某正有理数次幂小于1,则其为小于1的正数,从而它的任意次幂均小于1,而有理数在乘上一个适当的数之后就是正数,所以,这个数的某次方肯定是2的正整数次方,而这样一来,就会有2的正整数次方小于1的情况出现.这是和第1点矛盾的.所以,可以知道2的正有理数次方都是大于1的.命题推广到无理数,那不是我能够说给你懂的啦.
可见,你给出的两种证明单调性的方法都没有循环论证的问题.
1、2的正整数次幂大于1.这个可以用归纳法来证明.n=1,2>1,n=k,2^k>1,n=k+1,2^n=2^（k+1）>2>1,从而对正整数,命题成立.
2、小于1的正数的正整数次幂小于1.这个也可以用归纳证明.
3、2的正有理数次幂大于1.这个可以用反证法证明.（1）2的正有理数次幂大于0.（这个看起来显然,不过还是需要证明的）.（2）假若,存在2的某正有理数次幂小于1,则其为小于1的正数,从而它的任意次幂均小于1,而有理数在乘上一个适当的数之后就是正数,所以,这个数的某次方肯定是2的正整数次方,而这样一来,就会有2的正整数次方小于1的情况出现.这是和第1点矛盾的.所以,可以知道2的正有理数次方都是大于1的.命题推广到无理数,那不是我能够说给你懂的啦.
可见,你给出的两种证明单调性的方法都没有循环论证的问题.