神马作文网数学题、呃、已知x+1/x=2,求x^3+1/x^3和x^4+1/x^4的值,并猜想x^n+1/x^n（n为自然数）的值
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 14:42:33
数学题、呃、
已知x+1/x=2,求x^3+1/x^3和x^4+1/x^4的值,并猜想x^n+1/x^n（n为自然数）的值,并证明你的猜想.
已知x+1/x=2,求x^3+1/x^3和x^4+1/x^4的值,并猜想x^n+1/x^n（n为自然数）的值,并证明你的猜想.
x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2=2
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)=2
x^4+1/x^4=(x^2+1/x^2)^2-2=2
猜想x^n+1/x^n（n为自然数）的值 为 2
证明：（数学归纳法）
设n=k时成立,即a^k+1/a^k=2,a^(k-1)+1/a^(k-1)]=2
a^(k+1)+1/a^(k+1)=[a^k+1/a^k](a+1/a)-[a^(k-1)+1/a^(k-1)]
=2*2-2=2
即 n=k+1亦成立
证明a^n+1/a^n=2 成立
（2）证明：a+1/a=2 因为a不等于0
所以 a*a+1=2a 得a=1
所以 a^n+1/a^n(n是任意一个自然数）等于2
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)=2
x^4+1/x^4=(x^2+1/x^2)^2-2=2
猜想x^n+1/x^n（n为自然数）的值 为 2
证明：（数学归纳法）
设n=k时成立,即a^k+1/a^k=2,a^(k-1)+1/a^(k-1)]=2
a^(k+1)+1/a^(k+1)=[a^k+1/a^k](a+1/a)-[a^(k-1)+1/a^(k-1)]
=2*2-2=2
即 n=k+1亦成立
证明a^n+1/a^n=2 成立
（2）证明：a+1/a=2 因为a不等于0
所以 a*a+1=2a 得a=1
所以 a^n+1/a^n(n是任意一个自然数）等于2
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