神马作文网定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如果数列{an}满足an
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 07:51:59
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如果数列{an}满足an+1=3an-2an-1（n≥2），a1=1，a2=3．
（Ⅰ）求证：数列{an}是差等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）Sn是数列{an}的前n项和，如果对任意的正整数n（n≥4），不等式Sn≤kan-9k恒成立，求实数k的取值范围．
（Ⅰ）求证：数列{an}是差等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）Sn是数列{an}的前n项和，如果对任意的正整数n（n≥4），不等式Sn≤kan-9k恒成立，求实数k的取值范围．
（Ⅰ）证明：由an+1=3an-2an-1，得an+1-an=2an-2an-1（n≥2），
∵a2-a1=2≠0，
∴
an+1−an
an−an−1＝2，
∴数列{an}是差等比数列；
（Ⅱ）∵数列{an+1-an}是等比数列，首项a2-a1=2，公比为2，
∴an+1−an＝2×2n−1＝2n．
则an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+2+22+…+2n-1=2n-1．
∴an＝2n−1；
（Ⅲ）Sn＝(21−1)+(22−1)+…+(2n−1)
=(1+22+…+2n)−n＝
1−2n+1
1−2−n
=2n+1-2-n．
由Sn≤kan-9k，得2n+1-2-n≤k（2n-10），
∵n≥4，
∴2n-10＞0，
则k≥
2n+1−2−n
2n−10＝2+
18−n
2n−10．
令g(n)＝2+
18−n
2n−10，
知n≥4时，g(n)max＝g(4)＝
13
3，
∴k≥
13
3．
∵a2-a1=2≠0，
∴
an+1−an
an−an−1＝2，
∴数列{an}是差等比数列；
（Ⅱ）∵数列{an+1-an}是等比数列，首项a2-a1=2，公比为2，
∴an+1−an＝2×2n−1＝2n．
则an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+2+22+…+2n-1=2n-1．
∴an＝2n−1；
（Ⅲ）Sn＝(21−1)+(22−1)+…+(2n−1)
=(1+22+…+2n)−n＝
1−2n+1
1−2−n
=2n+1-2-n．
由Sn≤kan-9k，得2n+1-2-n≤k（2n-10），
∵n≥4，
∴2n-10＞0，
则k≥
2n+1−2−n
2n−10＝2+
18−n
2n−10．
令g(n)＝2+
18−n
2n−10，
知n≥4时，g(n)max＝g(4)＝
13
3，
∴k≥
13
3．
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如果数列{an}满足an
一道数列竞赛题如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差都是此相同的常数,则称该数列为等方差数
如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．已知等和数列{an}的第一项
定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称{an}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{an}
若数列a1 a2 a3 a4 ...an从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q 则a1+a2+a3+...+an=?.
已知 {An}是一个无穷等比数列,将数列{An}中的前k项去掉,剩余各项组成一个新的数列,这个新的数列是等比数列吗?如果
定义“等和数列”：在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都 为同一个常数,那么这个数列叫做等和
写出分别满足下列条件的数列{an}的一个通项公式：1.从第2项起,每一项都比它的前一项大2
定义“等和数列”：在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的
定义等和数列,在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,
数列,求速解定义等和数列,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列,这个常数就
（1）用由特殊到一般的方法知：若数列a1,a2,a3,…an从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q,则an=-a1×q