级数∑[x+n(-1)^n]/[x^2+n^2]在x的定义域R上的收敛性和一致收敛性、和函数的连续性.

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 14:15:33

①对任意A > 0,级数在[-A,A]上一致收敛.
一方面,对|x| ≤ A,|x/(x²+n²)| = |x|/(x²+n²) ≤ A/n².
根据Weierstrass判别法,由∑A/n²收敛可知∑x/(x²+n²)在[-A,A]上一致收敛.
另一方面,对|x| ≤ A,当n > A时n/(x²+n²)关于n单调递减.
且由n/(x²+n²) ≤ 1/n,其一致收敛到0.
又∑(-1)^n部分和一致有界,根据Dirichlet判别法,∑(-1)^n·n/(x²+n²)在[-A,A]上一致收敛.
于是∑(x+(-1)^n·n)/(x²+n²)也在[-A,A]上一致收敛.
②由级数的各项在[-A,A]连续,级数在[-A,A]一致收敛.
可知和函数在[-A,A]连续,由A的任意性,和函数在R上连续.
③级数在R上不是一致收敛的.
对ε = 1/8,任意N > 0,存在正整数k使2^k > N.
考虑部分和∑{2^k ≤ n < 2^(k+1)} (x+(-1)^n·n)/(x²+n²)在x = 2^(k+1)处的取值.
当n为奇数,有(x+(-1)^n·n)/(x²+n²) = (x-n)/(x²+n²) > 0.
当n为偶数,有(x+(-1)^n·n)/(x²+n²) = (x+n)/(x²+n²) > 2^(k+1)/(2^(2k+2)+2^(2k+2)) = 1/2^(k+2).
[2^k,2^(k+1))中共有2^(k-1)个偶数,因此在x = 2^(k+1)处:
∑{2^k ≤ n < 2^(k+1)} (x+(-1)^n·n)/(x²+n²) > 2^(k-1)·1/2^(k+2) = 1/8 = ε.
根据Cauchy收敛准则,级数在R上不一致收敛.

级数∑[x+n(-1)^n]/[x^2+n^2]在x的定义域R上的收敛性和一致收敛性、和函数的连续性. 函数列一致收敛性讨论 fn(x)=x^n 在区间(0,1)和(0,1/2)内的一致收敛性一道函数项级数的问题f(x) = Σ(x+1/n)^n D = (-1,1) 讨论(1)函数项级数的一致收敛性 (2)和级数∑x^2n（-1）^n/n!在无穷范围内的和函数s(x) 求级数∑(2n+1)x^n在其收敛区间内的和函数级数∑[（x-1）^2n]/(n!*2^n)的和函数是什么, 求级数∑1/[n(2n-1)]*x^2n在其收敛区间内的和函数计算级数∞∑n=1[x^2n\(2n-1)]的和函数(|x| 判断下列函数列在所给区间的一致收敛性 fn(x)=x/(1+(n^2)x^2),n=1,2,...,x∈(-∞,+∞) 求级数∑(2n-1)x^(n-1)的收敛区间及和函数求 (n+1)x^2n 的和函数 ,并求级数 (n+1)/2^(n+1) 的和若级数an(x-1)^n在x=0处收敛则级数在x=2de的收敛性若级数an^2(x-1)^n在x=-1处收敛则级数在x