神马作文网一道物理题：关于变力作用下的相遇问题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：物理作业 时间：2024/11/19 17:00:16
一道物理题：关于变力作用下的相遇问题
两物体质量分别为M和m,相互距离为L.在相同的作力F＝sin(ωt)的作用下,在光滑平面上m向M从静止开始直线运动.求（1）它们的位移和m追上M的时间；（2）假设m与M间发生非弹性碰撞,若恢复系数为e（碰撞后速度差与碰前速度差之比）,求碰撞后损失的动能.
第一问我分别用加速度积分到速度,再到位移做差,但是求得关于时间的方程是有sin(ωt)和t的超越方程,无法直接写出t的表达式,可能有其他方法,第二问还没考虑.
两物体质量分别为M和m,相互距离为L.在相同的作力F＝sin(ωt)的作用下,在光滑平面上m向M从静止开始直线运动.求（1）它们的位移和m追上M的时间；（2）假设m与M间发生非弹性碰撞,若恢复系数为e（碰撞后速度差与碰前速度差之比）,求碰撞后损失的动能.
第一问我分别用加速度积分到速度,再到位移做差,但是求得关于时间的方程是有sin(ωt)和t的超越方程,无法直接写出t的表达式,可能有其他方法,第二问还没考虑.
对于m,m加速度为Fsinωt/m.以其初始位置为原点,固定在地面的坐标系上看,有：
Fsinωt/m=s''(t),s'(0)=0,s(0)=0
解得：v(t)=(F-Fcosωt)/(mω)－－－－－①
s(t)=F(tω-sinωt)/(mω²)－－－②
同样解得M的速度与位移,两者的相对位移：△s(t)=F(M-m)(ωt-sinωt)/(mMω²)－－－－③
到此如果上述参数均为任意参数,则需要解超越方程,难于得到解析解.通常情况下,一般会限定条件,使得原系统简化为非超越方程.对于本题,一般会对③限定M与m近似,此时要达到△s(t)=L即相遇,则相遇时间会很长,从而(ωt-sinωt)中ωt>>sin(tω).
从而③变为：△s(t)=F(M-m)ωt/(mMω²)
令△s(t)=L,可解得相遇时间为：t=LmMω/(F(M-m))－－－④
将④代入①②,同样除去位移中的小项,有：
v1=(F-Fcos((LmMω²)/(Fm-FM)))/(mω)－－⑤
sm=LM/(M-m)－－⑥
同样可得M的：
u1=(F-Fcos((LmMω²)/(Fm-FM)))/(Mω)－－⑦
sM=Lm/(M-m)－－⑧
动能守恒：mv1+Mu1=mv2+Mu2
速度恢复：e(v1-u1)=u2-v2
动能损失：△E=1/2mv1²+1/2Mu1²-(1/2mv2²+1/2Mu2²)
将⑤⑦代入,可得：
△E=2(1-e²)F²(m-M)²sin((LmMω²)/(2Fm-2FM))^4/(mM(m+M)ω²)
再问： 十分感谢！这个题的关键就是那个假设，当t足够长时可忽略sinωt。你的过程中F是sinωt的系数吧，原题中应该是F＝Asin(ωt)，我漏掉了。所以解的过程中最好把F换成其他字母表示。
Fsinωt/m=s''(t),s'(0)=0,s(0)=0
解得：v(t)=(F-Fcosωt)/(mω)－－－－－①
s(t)=F(tω-sinωt)/(mω²)－－－②
同样解得M的速度与位移,两者的相对位移：△s(t)=F(M-m)(ωt-sinωt)/(mMω²)－－－－③
到此如果上述参数均为任意参数,则需要解超越方程,难于得到解析解.通常情况下,一般会限定条件,使得原系统简化为非超越方程.对于本题,一般会对③限定M与m近似,此时要达到△s(t)=L即相遇,则相遇时间会很长,从而(ωt-sinωt)中ωt>>sin(tω).
从而③变为：△s(t)=F(M-m)ωt/(mMω²)
令△s(t)=L,可解得相遇时间为：t=LmMω/(F(M-m))－－－④
将④代入①②,同样除去位移中的小项,有：
v1=(F-Fcos((LmMω²)/(Fm-FM)))/(mω)－－⑤
sm=LM/(M-m)－－⑥
同样可得M的：
u1=(F-Fcos((LmMω²)/(Fm-FM)))/(Mω)－－⑦
sM=Lm/(M-m)－－⑧
动能守恒：mv1+Mu1=mv2+Mu2
速度恢复：e(v1-u1)=u2-v2
动能损失：△E=1/2mv1²+1/2Mu1²-(1/2mv2²+1/2Mu2²)
将⑤⑦代入,可得：
△E=2(1-e²)F²(m-M)²sin((LmMω²)/(2Fm-2FM))^4/(mM(m+M)ω²)
再问： 十分感谢！这个题的关键就是那个假设，当t足够长时可忽略sinωt。你的过程中F是sinωt的系数吧，原题中应该是F＝Asin(ωt)，我漏掉了。所以解的过程中最好把F换成其他字母表示。