神马作文网线性代数一道求矩阵的秩的题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 10:37:00
线性代数一道求矩阵的秩的题
设k1β1+k2β2+k3β3+...+knβn=0; 带入βi ,得到(k1+kn)α1+(k1+k2)*2α2+(k2+k3)*3α3+...+(kn-1+kn)*nαn=0 ,因为α1,α2,...,αn线性无关,所以有k1+kn=0,k1+k2=0,...,kn-1+kn=0 ; 得到k1=k2=...=kn=0,所以向量组线性无关,所以秩为n
再问： 但是答案是分了n 奇偶的，我没有很看懂，尤其是n为偶数的情况
再答： = = 可能后面那个推k1=...=kn=0有问题，我看看觉得是0，详细算一下，由第二个得到k2=-k1,带到第三个式子，得到k3=k1,继续带，k4=-k1,n为奇数时，最后有kn=k1,带到第一个里面有k1=0, n为偶数时，有kn=-k1，整个方程组只有一组基础解，为(a,-a,a,-a,...,a,-a), 因为基础解的个数=未知量个数-系数矩阵的秩，所以系数矩阵(β1,β2,...,βn)的秩为未知量个数减1，等于n-1.
再问： 但是答案是分了n 奇偶的，我没有很看懂，尤其是n为偶数的情况
再答： = = 可能后面那个推k1=...=kn=0有问题，我看看觉得是0，详细算一下，由第二个得到k2=-k1,带到第三个式子，得到k3=k1,继续带，k4=-k1,n为奇数时，最后有kn=k1,带到第一个里面有k1=0, n为偶数时，有kn=-k1，整个方程组只有一组基础解，为(a,-a,a,-a,...,a,-a), 因为基础解的个数=未知量个数-系数矩阵的秩，所以系数矩阵(β1,β2,...,βn)的秩为未知量个数减1，等于n-1.