已知函数f（x）的图象在[a,b]上连续不断,定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a,b]）,f2（

已知函数f（x）的图象在[a,b]上连续不断,定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a,b]）,f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a,b]）．其中,min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值,max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k,使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f（x）为[a,b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx,x∈[0,π],试写出f1（x）,f2（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x2,x∈[-1,4],试判断f（x）是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,如果是,求出对应的k；如果不是,请说明理由；
（3）已知b＞0,函数f（x）=-x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围．
（1）根据f（x）=cosx的最大值为1,可得f1（x）、f2（x）的解析式．
（2）根据函数f（x）=x2在x∈[-1,4]上的值域,先写出f1（x）、f2（x）的解析式,再由f2（x）-f1（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．
（3）先对函数f（x）进行求导判断函数的单调性,进而写出f1（x）、f2（x）的解析式,然后再由f2（x）-f1（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．解答：（Ⅰ）由题意可得：f1（x）=cosx,x∈[0,π],f2（x）=1,x∈[0,π]．
（Ⅱ） f1(x)={x2,x∈[-1,0)0,x∈[0,4],f2(x)={1,x∈[-1,1)x2,x∈[1,4]
f2(x)-f1(x)={1-x2,x∈[-1,0)1,x∈[0,1)x2,x∈[1,4]
当x∈[-1,0]时,1-x2≤k（x+1）,∴k≥1-x,k≥2；
当x∈（0,1）时,1≤k（x+1）,∴ k≥1x+1,∴k≥1；
当x∈[1,4]时,x2≤k（x+1）,∴ k≥x2x+1,∴ k≥165．
综上所述,∴ k≥165
即存在k=4,使得f（x）是[-1,4]上的4阶收缩函数．
（Ⅲ）f'（x）=-3x2+6x=-3x（x-2）,令f'（x）=0得x=0或x=2．
函数f（x）的变化情况如下：
令f（x）=0,解得x=0或3．
（ⅰ）b≤2时,f（x）在[0,b]上单调递增,
因此,f2（x）=f（x）=-x3+3x2,f1（x）=f（0）=0．
因为f（x）=-x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数,
所以,①f2（x）-f1（x）≤2（x-0）对x∈[0,b]恒成立；
②存在x∈[0,b],使得f2（x）-f1（x）＞（x-0）成立．
①即：-x3+3x2≤2x对x∈[0,b]恒成立,
由-x3+3x2≤2x,解得：0≤x≤1或x≥2,
要使-x3+3x2≤2x对x∈[0,b]恒成立,需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0,b],使得x（x2-3x+1）＜0成立．
由x（x2-3x+1）＜0得：x＜0或 3-52＜x＜3+52,
所以,需且只需 b＞3-52．
综合①②可得：3-52＜b≤1．
（ⅱ）当b＞2时,显然有 32∈[0,b],由于f（x）在[0,2]上单调递增,
根据定义可得：f2(32)=278,f1(32)=0,
可得 f2(32)-f1(32)=278＞2×32=3,
此时,f2（x）-f1（x）≤2（x-0）不成立．
综合ⅰ）ⅱ）可得：3-52＜b≤1．
注：在ⅱ）中只要取区间（1,2）内的一个数来构造反例均可,这里用 32只是因为简单而已．

我想你的主要问题是在于对f1(x)和f2(x)的理解吧,这里解释一下：
f1(x)是说在[a,x]上f(x)取到的最小值,需要注意的是,这里的第三个x与前两个x是不一样的,为区别起见,下面用t表示,以第一问为例,a=0,f(t)=cos(t),x∈[0,π],由余弦函数图像易知,cos(t)在[0,x]上的最小值就是cos(x)(因为它在所给区间上是单调的）,于是f1(x)=cos(x)；而cos(t)在[0,x]上的最大值是1,所以f2(x)=1.
这个问题搞清楚了,第二问应该可以自己看懂,其中有些错误,比如165是16/5等,可能会影响阅读,你自己注意.
第三问相对来说比较难,如果你不是数学基础非常好的话,建议你可以放弃.如果不想放弃的话,那你先把前面的理解了再来继续问我.