2010年数学建模A题,关于储油罐的计算的思路,

2010年数学建模A题,关于储油罐的计算的思路,

A题：这个问题不能算难,但真正工作起来的环节却不少,对同学们的工作能力还是有相当考验的.想要完整地解决本题,一定几何学、微积分、统计学的知识,以及运用计算机和数学软件的扎实能力是绝对必要的.
本题关键是希望知道变位参数和罐容表之间的关系.在第二问里,甚至明确指出,希望得到罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系.这可以说是要做一个万能的罐容表了.当然如果细分的话,这里涉及到几个问题,从简单到复杂是这样的：:
1：小椭圆形储油罐,无变位,油位高度和油量的关系.
2：实际储油罐,无变位,油位高度和油量的关系.
3小椭圆形储油罐,有一个特定的纵向倾斜角,油位高度和油量的关系.
4：小椭圆形储油罐,有任意的变位参数,油位高度和油量的关系（这个关系肯定是带着变位参数作为参数的）.
5：实际储油罐,有任意的变位参数,油位高度和油量的关系.
想要完整解决A题,这五个“子问题”几乎都是跳不过去的.题目中,明确给了问题1的数据（以下简称数据甲）和问题3的数据（以下简称数据乙）,都在附件1里.而最终希望得到的结果,大致可以理解成问题4和问题5.根据信息的流向,我们似乎可以梳理出一个比较简明,也比较可靠的思路：
解决1：可以根据几何关系和积分计算,也可以部分地参考数据甲来得到1的结果.当然最后还需要使用数据甲来检验这个结果.纯粹的几何计算按理说吻合得就应该不错.但一旦和数据吻合不太好,那或许还需要考虑稍复杂的因素以修正之.当然我个人猜想在这个题中,似乎没有引入太多复杂因素的必要.但无论如何,这里结果的精度还是别太放松,否则对后面工作不利.
解决2：没数据,我们只好根据几何关系来计算它.如果一个方法,包括其考虑的因素,用在1中的效果不错,我们也可以考虑照搬到2上来.无论如何,几何计算都是最重要的一步工作.
解决3：和解决1的思路一样,当然要更加麻烦.完全可能用到求解方程,数值积分,计算机的应用就派上用场了.同样,最后需要使用数据来检验其精度.
解决4：如果解决3的思路好用,没有过多人为的“特设的”修正并且精度不错,拿它来解决4,当然也是可信的.
解决5：借用2和4的结果,当然这个计算还要麻烦一些.所求函数的非线性性质很强,不好办的时候也可以做必要的简化.譬如把一些表示“不太规则区域的容量”的项,先简化成线性的,再用二次项来修正.但无论怎么做,对最后的精度,最好做出评估.
附件2里的数据（以下简称数据丙）是用来做反问题的.对模型的建立过程并没有明显的作用.数据丙的第一个作用是希望通过实测数据,反向求解变位参数,这里往往要涉及到统计学的办法.由于实测数据总有精度的限制,何况模型里最后的函数关系不会很简单,很难指望去直接解方程.这个问题相当于使用已知形式的函数去拟合这些数据,并找到最优的参数.数据丙的第二个作用是检验模型是否准确.一方面可以讲讲拟合精度到底如何,一方面是刚才在拟合参数时,可以不把数据全都用完,有一部分数据就可以做拟合了,留一部分数据来作检验.而且这个工作还可以做若干次,每次（随机地?）取不同部分的数据做拟合,取另一部分数据做检验,如果若干次的效果都能互相印证,定会大大增强结果的可信性和说服力.