高等代数矩阵二次型知道一个矩阵A,求可逆矩阵P,使得PTAP 为对角矩阵.则可以先求出A的特征根,以及分别对应各个根的特

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 07:05:45

高等代数矩阵二次型
知道一个矩阵A,求可逆矩阵P,使得PTAP 为对角矩阵.
则可以先求出A的特征根,以及分别对应各个根的特征向量,P1,P2,P3
然后将P1,P2,P3单位化得Q1,Q2,Q3,则P=（Q1,Q2,Q3）
我想问的是,为什么一定要将P1,P2,P3 单位化!

对于二次型,矩阵A都是要求为实对称矩阵.
实对称矩阵可以对角化,就是说,存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP为对角矩阵,这里P^{-1}表示P的逆矩阵.
具体求法就如你所说,先求出A的特征根,以及分别对应各个根的特征向量,P1,P2,P3,此时令P=（P1,P2,P3）,就满足P^{-1}AP为对角矩阵.
但是若想把P^{-1}变为PT,就要想办法把P变成正交阵,因为正交阵的定义就是逆和转置相同.
所以需要把P1,P2,P3正交单位化得Q1,Q2,Q3,这样得到的矩阵（Q1,Q2,Q3）就是正交阵.
注意：通常需要正交单位化而不是仅仅单位化,但是如果P1,P2,P3属于不同的特征根,则它们本身就是正交的,就可以省去正交化的过程.

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