（2011•金华模拟）设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/10 17:08:28
（2011•金华模拟）设椭圆C：
| x
（1）由2
F1F2+
F2Q＝
0知：F1为F2Q中点．
又∵
.
F2A⊥
AQ，
∴|F1Q|=|F1A|=|F1F2|，即F1为△AQF2的外接圆圆心
而|F1A|=a，|F1F2|=2c，∴a=2c，又圆心为（-c，0），半径r=a，
∴
|−c−3|
2＝a，解得a=2，
∴所求椭圆方程为
x2
4+
y2
3＝1．（5分）
（2）①由（1）知F2（1，0），y=k（x-1），
y＝k(x−1)
x2
4+
y2
3＝1，代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝
8k2
3+4k2，x1x2＝
4k2−12
3+4k2，
又∵|F2M|=a-ex1，|F2N|=a-ex2，
∴
1
|F2M|+
1
|F2N|＝
1
a−ex1+
1
a−ex2=
2a−e(x1+x2)
a2−ae(x1+x2) +e2(x1x2) ，
1
|F2M|+
1
|F1M|＝
4−
1
2−
8k2
3+4k2
4−1•
8k2
3+4k2+
1
4•
4k2−12
3+4k2＝
4
3，
∴
1
|F2M|+
1
|F2N|为定值
4
3．（10分）
②由上可知：y1+y2=k（x1+x2-2），
PM+
PN＝(x1−m，y1) +(x2−m，y2)=（x1+x2-2m，y1+y2），
由于菱形对角线垂直，则(
PM+
PN) •
MN＝0，
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
k2(
8k2
3+4k2−2)+
8k2
3+4k2−2m＝0，由已知条件知k≠0且k∈R，
m＝
k2
3+4k2＝
1
3
k2+4，∴0＜m＜
1
4，
故存在满足题意的点P且的取值范围是0＜m＜
1
4．（15分）
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