神马作文网概率论与数理统计 混合偏导数 二维随机变量
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 15:21:40
概率论与数理统计 混合偏导数 二维随机变量
由定义：
∂F(x,y)/∂y=lim (Δy→0) [F(x,y+Δy)-F(x,y)]/Δy,
同理：
∂F(x+Δx,y)/∂y=lim (Δy→0) [F(x+Δx,y+Δy)-F(x+Δx,y)]/Δy,
由二阶偏导数的定义：
∂^2 F(x,y)/∂x∂y=lim (Δx→0) [∂F(x+Δx,y)/∂y-∂F(x,y)/∂y]/Δx,
再把∂F(x+Δx,y)/∂y与∂F(x,y)/∂y的表达式代入：
∂^2 F(x,y)/∂x∂y=lim (Δx→0) {lim (Δy→0) [F(x+Δx,y+Δy)-F(x+Δx,y)]/Δy-lim (Δy→0) [F(x,y+Δy)-F(x,y)]/Δy}/Δx,
=lim (Δx→0) {lim (Δy→0) [F(x+Δx,y+Δy)-F(x+Δx,y) - F(x,y+Δy)+F(x,y)]/Δy}/Δx,
=lim (Δx→0 Δy→0) [F(x+Δx,y+Δy)-F(x+Δx,y) - F(x,y+Δy)+F(x,y)]/Δy/Δx,（这一步需要连续性条件,把二次极限转化为二重极限）
（^表示指数）
∂F(x,y)/∂y=lim (Δy→0) [F(x,y+Δy)-F(x,y)]/Δy,
同理：
∂F(x+Δx,y)/∂y=lim (Δy→0) [F(x+Δx,y+Δy)-F(x+Δx,y)]/Δy,
由二阶偏导数的定义：
∂^2 F(x,y)/∂x∂y=lim (Δx→0) [∂F(x+Δx,y)/∂y-∂F(x,y)/∂y]/Δx,
再把∂F(x+Δx,y)/∂y与∂F(x,y)/∂y的表达式代入：
∂^2 F(x,y)/∂x∂y=lim (Δx→0) {lim (Δy→0) [F(x+Δx,y+Δy)-F(x+Δx,y)]/Δy-lim (Δy→0) [F(x,y+Δy)-F(x,y)]/Δy}/Δx,
=lim (Δx→0) {lim (Δy→0) [F(x+Δx,y+Δy)-F(x+Δx,y) - F(x,y+Δy)+F(x,y)]/Δy}/Δx,
=lim (Δx→0 Δy→0) [F(x+Δx,y+Δy)-F(x+Δx,y) - F(x,y+Δy)+F(x,y)]/Δy/Δx,（这一步需要连续性条件,把二次极限转化为二重极限）
（^表示指数）