已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 15:44:28

已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)
求证:存在曲线上的唯一点M(x0,y0),x1

当然有高中思路啦
原问题即转化为：f'(x)=（y2-y1）/(x2-x1)在（x1,x2）上有唯一解
且f'(x)=a+1/x
所以即为证明：a+1/x=（y2-y1）/(x2-x1)在（x1,x2）上有唯一解
将y=ax+lnx带入,则：
即证a+1/x=a+(lnx2-lnx1)/(x2-x1)在（x1,x2）上有唯一解
两边消去a,即证：
1/x=(lnx2-lnx1)/(x2-x1)在（x1,x2）上有唯一解
注意,x1,x2是两个确定的值,所以上式实际上是关于x的一次函数：
即证：(lnx2-lnx1)x=x2-x1在（x1,x2）上有唯一解
又因为：可解得x=(x2-x1)/(lnx2-lnx1)=x0
所以即证：x0∈（x1,x2）
即证：(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1且小于x2
先证：(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1
即证：x2-x1大于（lnx2-lnx1）x1
把x1除过去,换元令t=x2/x1,即证：t-1〉lnt
其中：因为x2大于x1大于0,所以t大于1
移项构造函数,求导即可证明t-1-lnt大于0,即t-1〉lnt
所以：(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1
同理可证：(x2-x1)/(lnx2-lnx1)小于x2
综上,原命题得证
没想到明天就高考了的时候,还能帮你解决一个问题呢

已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2) 已知函数f(x)=lnx,斜率为k的直线与函数f(x)的图像交于两点A（x1,y1）B(x2,y2)(x1 已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=kx+b图像上不同的两点若t=(x1-x2)(y1-y2),则AT0 曲线长度已知曲线f(x),曲线上两点A(x1,y1)B(x2,y2),如何计算AB间曲线的长度? 已知函数y=3x+b的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1-y2/x2-x1= 已知函数f(x)=x^3+ax^2,若f(x)图像上任意两点A（x1,y1）,B(x2,y2)的连线的斜率大于-1,求实设a∈R,函数f(x)=lnx-ax.已知x1=√e（e=2.71828L)和x2是函数f(x)的两个不同零点, 已知函数f(x)=x^2+ax+c,g(x)=lnx+c,a c∈R若对x1,x2∈R,且x1 一次函数y=kx-3的图像上有两点p（x1,x2）Q（x2,y2）且x1大于x2,y1＜y2,则k 已知二次函数f(x)=ax^2+x,对于任意x1,x2∈R,比较 A（x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=kx 2(k>0)图像上不同的两点,若t=(x1-x2)(y1-y2)则 A(x1,y1) B(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点,若t=(x1-x2)(y1-y2)