神马作文网证明不等式1/(n+1)
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 11:58:54
证明不等式1/(n+1)
证明：用第二数学归纳法证明之.
1、当n=1时,命题显然成立.即：1/2＜ln3-ln2＜1(1)；设命题当n≤k时都成立.即当n=2时,有：1/3＜ln3-ln2＜1/2（2）；.；将前k-2个不等式两边分别相加得：1/2+1/3+1/4+.+1/(k-1)＜ln(k-1)＜1+1/2+1/3+1/4+.+1/（k-2)（**）；当n=k-1时,又有：1/k＜lnk＜1/（k-1）.将上述前k-1个不等式的左右两端分别相加得：1/2+1/3+1/4+.+1/k＜ln（k-1）＜1+1/2+1/3+1/4+...+1/(k-1)（*）.（**）式-（*）式得：1/k＜lnk-ln（k-1）＜1/(k-1).所以命题对n=k-1是成立的.下面来看n=k时的情形.
2、当n=k时,就是要证：1/（k+1)＜ln(k+1)-lnk＜1/k.用反证法来证之.假定命题对n=k时不成立,即：1/(k+1)＜ln(k+1)-lnk＜1/k不成立,那么就有：ln(k+1/k)＞1/k①,且ln(k+1/k)＜1/(k+1)或-ln(k+1/k)＞-1/(k+1)②成立.于是①式+②式得：0＞1/k-1/(k+1)=1/k(k+1).于是有：k(k+1)＜0,但是k＞0.所以此不等式的解只能是：k＜-1.此与k是正整数矛盾!所以假设不正确.综上所述,命题对于一切自然数n都成立.
1、当n=1时,命题显然成立.即：1/2＜ln3-ln2＜1(1)；设命题当n≤k时都成立.即当n=2时,有：1/3＜ln3-ln2＜1/2（2）；.；将前k-2个不等式两边分别相加得：1/2+1/3+1/4+.+1/(k-1)＜ln(k-1)＜1+1/2+1/3+1/4+.+1/（k-2)（**）；当n=k-1时,又有：1/k＜lnk＜1/（k-1）.将上述前k-1个不等式的左右两端分别相加得：1/2+1/3+1/4+.+1/k＜ln（k-1）＜1+1/2+1/3+1/4+...+1/(k-1)（*）.（**）式-（*）式得：1/k＜lnk-ln（k-1）＜1/(k-1).所以命题对n=k-1是成立的.下面来看n=k时的情形.
2、当n=k时,就是要证：1/（k+1)＜ln(k+1)-lnk＜1/k.用反证法来证之.假定命题对n=k时不成立,即：1/(k+1)＜ln(k+1)-lnk＜1/k不成立,那么就有：ln(k+1/k)＞1/k①,且ln(k+1/k)＜1/(k+1)或-ln(k+1/k)＞-1/(k+1)②成立.于是①式+②式得：0＞1/k-1/(k+1)=1/k(k+1).于是有：k(k+1)＜0,但是k＞0.所以此不等式的解只能是：k＜-1.此与k是正整数矛盾!所以假设不正确.综上所述,命题对于一切自然数n都成立.