神马作文网一道高一数列题（写出过程）
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 11:13:27
一道高一数列题（写出过程）
若f(a+b)=f(a)+f(b)且f(1)=1,则f(2)/f(1)+f(3)/f(2)+…+f(1998)/f(1997)=_________
若f(a+b)=f(a)+f(b)且f(1)=1,则f(2)/f(1)+f(3)/f(2)+…+f(1998)/f(1997)=_________
f(a+b)=f(a)+f(b)
则f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3
由此易知f(n)=n
所以
f(2)/f(1)+f(3)/f(2)+…+f(1998)/f(1997）
=2/1+3/2+...+1998/1997
=(1+1)+(1+1/2)+(1+1/3)+..+(1+1/1997)
=1998+1/2+1/3+...+1/1997
现在要解决的问题是1/2+1/3+...+1/1997这个东西
首先要求出1/2+1/3+...1/n的前n项和
.
稍后做答...
这个貌似很难的.
好继续
用数学归纳法吧
1/2+1/3=5/6
1/2+1/3+1/4=7/8
1/2+1/3+1/4+1/5=9/10
发现规律了
1/2+1/3+1/4+...+1/n=(2n-1)/2n (n>=2)
数学归纳法证明如下
n=2时1/2+1/3=5/6满足
设n=k时满足即1/2+1/3+1/4+...+1/k=(2k-1)/2k
n=k+1时 1/2+1/3+1/4+...+1/k+1+1/(k+1)=(2k-1)/2k+(1/(k+1))=...=
(2(k+1)-1)/2(k+1)也满足
所以...1/2+1/3+1/4+...+1/n=(2n-1)/2n
所以...1/2+1/3+1/4+...+1/1997=(2×1997-1)/2×1997
所以就有答案了
答案是
1998+ (2×1997-1)/2×1997
自己算一下
没有功劳都有苦劳啊
则f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3
由此易知f(n)=n
所以
f(2)/f(1)+f(3)/f(2)+…+f(1998)/f(1997）
=2/1+3/2+...+1998/1997
=(1+1)+(1+1/2)+(1+1/3)+..+(1+1/1997)
=1998+1/2+1/3+...+1/1997
现在要解决的问题是1/2+1/3+...+1/1997这个东西
首先要求出1/2+1/3+...1/n的前n项和
.
稍后做答...
这个貌似很难的.
好继续
用数学归纳法吧
1/2+1/3=5/6
1/2+1/3+1/4=7/8
1/2+1/3+1/4+1/5=9/10
发现规律了
1/2+1/3+1/4+...+1/n=(2n-1)/2n (n>=2)
数学归纳法证明如下
n=2时1/2+1/3=5/6满足
设n=k时满足即1/2+1/3+1/4+...+1/k=(2k-1)/2k
n=k+1时 1/2+1/3+1/4+...+1/k+1+1/(k+1)=(2k-1)/2k+(1/(k+1))=...=
(2(k+1)-1)/2(k+1)也满足
所以...1/2+1/3+1/4+...+1/n=(2n-1)/2n
所以...1/2+1/3+1/4+...+1/1997=(2×1997-1)/2×1997
所以就有答案了
答案是
1998+ (2×1997-1)/2×1997
自己算一下
没有功劳都有苦劳啊