立方和公式证明问题1^3+2^3+……n^3=[n(n+1)/2]^2为什么?请证明..用因式分解法

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 20:39:29

立方和公式证明问题
1^3+2^3+……n^3=[n(n+1)/2]^2
为什么?请证明..用因式分解法

当n=2时,
1^3+2^3=(1+2)^2=9
命题成立
设当n=k时,(k为正整数且k>=2,)命题成立,
即1^3+2^3+…+k^3=（1+2+…+k)^2
则当n=k+1时,
1^3+2^3+…+k^3+（k+1）^3
=（1+2+…+k)^2+（k+1）^3
=[（1+k）k/2]^2+（k+1）^3
=（k+1）^2（k^2+4k+4）/4
=（k+1）^2（k+2)^2/4
=[（k+1）（k+2)/2]^2
=[1+2+…+k+(k+1)]^2
命题亦成立
由归纳法可知,原命题在n为正整数且n>=2时成立,
又n=1时,命题显然成立,
因此原命题在n为正整数时均成立

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