神马作文网帮忙看一道带绝对值的二重积分题,
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 07:03:15
帮忙看一道带绝对值的二重积分题,
∫∫|x^2+y^2-2y|dxdy ,D∈x^2+y^2≤4
∫∫D(x^2+y^2-2y)dxdy-∫∫D‘(x^2+y^2-2y)dxdy=9π,其中D’∈x^2+(y-1)^2≤1
用到了大圆分割小圆.
请问这是根据那条定理做的?绝对值是怎么去掉的?
∫∫|x^2+y^2-2y|dxdy ,D∈x^2+y^2≤4
∫∫D(x^2+y^2-2y)dxdy-∫∫D‘(x^2+y^2-2y)dxdy=9π,其中D’∈x^2+(y-1)^2≤1
用到了大圆分割小圆.
请问这是根据那条定理做的?绝对值是怎么去掉的?
二重积分的区域可加性.要去绝对值,就是要比较x^2+y^2与2y的大小.在D内,当x^2+y^2≤2y时,被积函数是2y-x^2-y^2；当x^2+y^2＞2y时,被积函数是x^2+y^2-2y.这样,区域就被分成了两部分,积分分为两个.
再问： 带成极坐标往下算的话出现sin的四次方，有没有什么简单的办法不求sin四次方的积分？
再答： 不是有一个定积分公式嘛，sinx的n次方从0到π/2的积分
再问： 我用奇偶性，第二个积分的积分限是0到π/2，可是第一个是-π/2到π/2。 2∫(-π/2,π/2)(4-16/3*sinθ+4/3*sin^4θ)dθ 这个积分怎么用你说的那个公式？
再答： 不是还可以用奇偶性吗？其实一开始就可以用奇偶性，把积分限制在第一象限
再问： 原二重积分被积函数是x的偶函数，积分区域关于y轴对称。我只能把积分限制在第一和第四象限。 只限制在第一象限是怎么做到的？
再答： 设小圆是D1，去掉绝对值后，原积分＝∫∫(D1) (2y-x^2-y^2)dxdy＋∫∫(D-D1) (x^2+y^2-2y)dxdy＝2∫∫(D1) (2y-x^2-y^2)dxdy＋∫∫(D) (x^2y^2-2y)dxdy。用对称性，D1上的积分是第一象限积分的2倍，在D上，2y的积分是0，剩下的x^2+y^2的积分是第一象限积分的4倍
再问： 带成极坐标往下算的话出现sin的四次方，有没有什么简单的办法不求sin四次方的积分？
再答： 不是有一个定积分公式嘛，sinx的n次方从0到π/2的积分
再问： 我用奇偶性，第二个积分的积分限是0到π/2，可是第一个是-π/2到π/2。 2∫(-π/2,π/2)(4-16/3*sinθ+4/3*sin^4θ)dθ 这个积分怎么用你说的那个公式？
再答： 不是还可以用奇偶性吗？其实一开始就可以用奇偶性，把积分限制在第一象限
再问： 原二重积分被积函数是x的偶函数，积分区域关于y轴对称。我只能把积分限制在第一和第四象限。 只限制在第一象限是怎么做到的？
再答： 设小圆是D1，去掉绝对值后，原积分＝∫∫(D1) (2y-x^2-y^2)dxdy＋∫∫(D-D1) (x^2+y^2-2y)dxdy＝2∫∫(D1) (2y-x^2-y^2)dxdy＋∫∫(D) (x^2y^2-2y)dxdy。用对称性，D1上的积分是第一象限积分的2倍，在D上，2y的积分是0，剩下的x^2+y^2的积分是第一象限积分的4倍