某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/29 16:19:22
某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.
(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;
(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决;
小颖的想法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2)
小亮的想法:将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3);
请你从中任选一种方法进行证明;
(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究:当135°<α<180°时(如图4)等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.
(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;
(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决;
小颖的想法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2)
小亮的想法:将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3);
请你从中任选一种方法进行证明;
(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究:当135°<α<180°时(如图4)等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
(1)证明:如图1,∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°.
∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°.
∵∠BAD=∠DAM,
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°,
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC,
∴∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC;
(2)(2)选择小颖的方法.
证明:如图2,连接EF.
由折叠可知,∠BAD=∠FAD,AB=AF,BD=DF,
∵∠BAD=∠FAD,
∴由(1)可知,∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
AF=AC
∠FAE=∠CAE
AE=AE ,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
∴BD2+CE2=DE2.
(3)当135°<α<180°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.证明如下:
如图4,按小颖的方法作图,设AB与EF相交于点G.
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,
∴AF=AB,∠AFD=∠ABD=135°,∠BAD=∠FAD.
又∵AC=AB,∴AF=AC.
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE.
∴∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
∵
AF=AC
∠FAE=∠CAE
AE=AE,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°.
∴∠DFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,∴BD2+CE2=DE2.
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°.
∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°.
∵∠BAD=∠DAM,
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°,
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC,
∴∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC;
(2)(2)选择小颖的方法.
证明:如图2,连接EF.
由折叠可知,∠BAD=∠FAD,AB=AF,BD=DF,
∵∠BAD=∠FAD,
∴由(1)可知,∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
AF=AC
∠FAE=∠CAE
AE=AE ,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
∴BD2+CE2=DE2.
(3)当135°<α<180°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.证明如下:
如图4,按小颖的方法作图,设AB与EF相交于点G.
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,
∴AF=AB,∠AFD=∠ABD=135°,∠BAD=∠FAD.
又∵AC=AB,∴AF=AC.
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE.
∴∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
∵
AF=AC
∠FAE=∠CAE
AE=AE,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°.
∴∠DFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,∴BD2+CE2=DE2.
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