求不定积分∫（arc tanx/1+x^2) dx的详细过程!

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/23 21:43:10

求不定积分∫（arc tanx/1+x^2) dx的详细过程!
在有些解题步骤中= ∫ (x/1+x^2) dx + ∫ arc tanx d(arc tanx),∫ arc tanx d(arc tanx)是凑微分这个我明白,但为什么多出一个∫ (x/1+x^2) dx ?这个是怎么得到的?
分数不多,请各位兄台帮帮忙!

把原式拆成两部分,
原式=∫（1+x^2)arctanxdx/(1+x^2)-∫arctanxdx/(1+x^2),
=∫arctanxdx-∫arctanxdx/(1+x^2),
前部分用分部积分,后部分用凑积分,
对：∫arctanxdx
设u=arctanx,v'=1,
u'=1/(1+x^2),v=x,
∫arctanxdx=xarctanx-∫xdx/(1+x^2)
=xarctanx-(1/2)∫d(1+x^2)/(1+x^2)
=x*arctanx-(1/2)ln(1+x^2)+C1,
后部分∫arctanxdx/(1+x^2)=∫arctanxd(arctanx)
=(1/2)(arctanx)^2,
∴原式=x*arctanx-(1/2)ln(1+x^2）-(1/2)(arctanx)^2+C.

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