神马作文网一道高数证明题（中值定理相关）
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/15 15:19:13
一道高数证明题（中值定理相关）
如图
我的思路是应该构建辅助函数然后用罗尔中值
但是,就差那么一点,就是想不通
如图
我的思路是应该构建辅助函数然后用罗尔中值
但是,就差那么一点,就是想不通
根据定积分的性质知道如果 ∫f(x)dx = 0 ,则 f(x) 在（a,b）上至少存在一个零点ξ .现在我们证明除了 ξ 之外 f(x) 在 （a,b）上还有一个零点.
由已知条件知道 ∫f(x)dx = ∫xf(x)dx = 0 ,于是可以知道 ∫(x-ξ)f(x)dx = 0 .然而对于 x-ξ ,当 x＜ξ 时恒有 x-ξ＜0 ,当 x＞ξ 时恒有 x-ξ＞0 成立,于是可以知道 f(x) 在 ξ 某一侧必然不可能恒大于0 或小于0 （如若 f(x) 在 ξ 某一侧恒大于0 或小于0 则 ∫(x-ξ)f(x)dx = 0 必然不能成立）,也就是说在 ξ 的某一侧 f(x) 至少还存在一个零点.到此我们证明了函数 f(x)在区间（a,b）上存在两个零点,于是在这两个零点组成的闭区间上利用罗尔定理就可以直接得到 f'(x)在区间上存在一个零点了.
由已知条件知道 ∫f(x)dx = ∫xf(x)dx = 0 ,于是可以知道 ∫(x-ξ)f(x)dx = 0 .然而对于 x-ξ ,当 x＜ξ 时恒有 x-ξ＜0 ,当 x＞ξ 时恒有 x-ξ＞0 成立,于是可以知道 f(x) 在 ξ 某一侧必然不可能恒大于0 或小于0 （如若 f(x) 在 ξ 某一侧恒大于0 或小于0 则 ∫(x-ξ)f(x)dx = 0 必然不能成立）,也就是说在 ξ 的某一侧 f(x) 至少还存在一个零点.到此我们证明了函数 f(x)在区间（a,b）上存在两个零点,于是在这两个零点组成的闭区间上利用罗尔定理就可以直接得到 f'(x)在区间上存在一个零点了.