神马作文网高一数学单调性证明题（很简单的,）
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 19:01:45
高一数学单调性证明题（很简单的,）
请用单调性定义证明f(x)=a^x+a^（-x）在(0,+无穷)上是递增函数（a>0,a≠1）
也就是说,不能用求导的方法做.
大过年的还要回答问题,这里先奉上红包20分.祝大家新春快乐!
请用单调性定义证明f(x)=a^x+a^（-x）在(0,+无穷)上是递增函数（a>0,a≠1）
也就是说,不能用求导的方法做.
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设x1,x2∈(0,+∞),且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=a^x1+a^（-x1）-a^x2-a^（-x2）
=a^x1-a^x2+1/（a^x1）-1/（a^x2）
=a^x1-a^x2+（a^x2-a^x1）/（a^x1·a^x2）
=（a^x1-a^x2）（1-1/a^x1·a^x2）
①a∈（1,+∞）
∵x1＜x2,且y=a^x在（0,+∞）上是增函数
∴a^x1＜a^x2,∴a^x1-a^x2＜0
又x1,x2∈(0,+∞),∴1-1/a^x1·a^x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0,f（x1）＜f（x2）
∴a∈（1,+∞）时f(x)=a^x+a^（-x）在(0,+∞)上是增函数
②a∈（0,1）
∵x1＜x2,且y=a^x在（0,+∞）上是减函数
∴a^x1＜a^x2,∴a^x1-a^x2＞0
又x1,x2∈(0,+∞),∴1-1/a^x1·a^x2＜0
同理a∈（0,1）时f(x)=a^x+a^（-x）在(0,+∞)上是增函数
综上所述,f(x)=a^x+a^（-x）在(0,+∞)上是增函数
f（x1）-f（x2）=a^x1+a^（-x1）-a^x2-a^（-x2）
=a^x1-a^x2+1/（a^x1）-1/（a^x2）
=a^x1-a^x2+（a^x2-a^x1）/（a^x1·a^x2）
=（a^x1-a^x2）（1-1/a^x1·a^x2）
①a∈（1,+∞）
∵x1＜x2,且y=a^x在（0,+∞）上是增函数
∴a^x1＜a^x2,∴a^x1-a^x2＜0
又x1,x2∈(0,+∞),∴1-1/a^x1·a^x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0,f（x1）＜f（x2）
∴a∈（1,+∞）时f(x)=a^x+a^（-x）在(0,+∞)上是增函数
②a∈（0,1）
∵x1＜x2,且y=a^x在（0,+∞）上是减函数
∴a^x1＜a^x2,∴a^x1-a^x2＞0
又x1,x2∈(0,+∞),∴1-1/a^x1·a^x2＜0
同理a∈（0,1）时f(x)=a^x+a^（-x）在(0,+∞)上是增函数
综上所述,f(x)=a^x+a^（-x）在(0,+∞)上是增函数