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已知函数f(x)=x²-2ax+5(a>1)

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/11 14:22:06
已知函数f(x)=x²-2ax+5(a>1)
1若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值
2若f(x)在区间(负无穷,2]上是减函数,对任意的x₁,x₂∈[1,1+a],总有|f(x₁)-f(x₂)≤4,证明2≤a≤3
主要是第二问中证明a≤3我不懂
已知函数f(x)=x²-2ax+5(a>1)
1:f(a)=a²-2a*a+5=1,a²=4,a=2
2:因为若f(x)在区间(负无穷,2]上是减函数,且函数f(x)=x²-2ax+5在(负无穷,a]上是减函数,所以a≥2
且函数f(x)=x²-2ax+5在[a,正无穷)上是增函数
f(1)=1-2a+5=6-2a=f(2a-1)(注:因为这个函数以x=a为对称轴,所以有f(x)=f(2a-x))
因为2a-1≥a+1
所以f(1)=f(2a-1)≥f(a+1)
所以|f(x₁)-f(x₂)|≤f(1)-f(a)=6-2a-(5-a²)=a²-2a+1≤4
a²-2a-3≤0
(a-3)(a+1)≤0
-1≤a≤3
因为2≤a
所以2≤a≤3