数论的,求所有的正整数对（m,n）,m>=3,n>=3,使得存在无穷多个正整数a,(a^m+a-1)/(a^n+a^2-

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 13:22:22

数论的,
求所有的正整数对（m,n）,m>=3,n>=3,使得存在无穷多个正整数a,(a^m+a-1)/(a^n+a^2-1)的值是整数.
题肯定没错。只是比较难而已。在奥数题里面也算比较难的了。做了很久都做不出来

设f(x) = x^m+x-1,g(x) = x^n+x^2-1.
设多项式带余除法f(x) = g(x)q(x)+r(x),余式r(x)为0或次数小于n.
注意由带余除法的步骤,这里的q(x)与r(x)都是整系数多项式.
∵f(x)/g(x) = q(x)+r(x)/g(x)在无穷多个正整数上取整值,而q(x)总取整值,
∴r(x)/g(x)在无穷多个正整数上取整值.
若r(x)非零,由其次数小于g(x),对x充分大,总有0 < |r(x)| < |g(x)|,比值不为整数.
至多只有有限个x使其为整数,矛盾.
∴r(x) = 0,g(x) | f(x),m ≥ n.
∴g(x) | (x+1)f(x)-g(x) = x^(m+1)+x^m-x^n
又∵g(x)与x^n互素,∴g(x) | x^(m+1-n)+x^(m-n)-1.
设h(x) = x^(m+1-n)+x^(m-n)-1.
∵h(x)不为零,g(x) | h(x),∴m+1-n ≥ n,m ≥ 2n-1 ①.
由g(x) | h(x),g(x) = 0的所有解都是h(x) = 0的解.
注意到g(0) = -1,g(1) = 1,∴存在b∈(0,1)使g(b) = 0,于是也有h(b) = 0.
观察两个等式:b^n+b^2 = 1,b^(m-n+1)+b^(m-n) = 1.
∵0 < b < 1,m+1-n ≥ n,∴b^(m-n+1) ≤ b^n,∴b^(m-n) ≥ b^2,∴m-n ≤ 2 ②.
综合①②得n+2 ≥ m ≥ 2n+1,有n ≤ 3.又由条件n ≥ 3,故n = 3.
代回得5 ≥ m ≥ 5,即m = 5.
最后,易验证m = 5,n = 3时f(x)/g(x) = 1-x+x^2,(m,n) = (5,3)是满足要求的唯一解.

数论的,求所有的正整数对（m,n）,m>=3,n>=3,使得存在无穷多个正整数a,(a^m+a-1)/(a^n+a^2- a,m,n均为正整数,根号(a^2-根号32)=根号m-根号n求所有满足条件的a,m,n的值数论难题a(n)表示前n个正整数的最小共倍数,证明a(n)>=2^(n-1) 是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3^n+9对任意正整数n都能被m整除? 已知2^m=a,32^n=b,m,n为正整数,求2^（3m+10n）如果a的m次方=q,a的n次方=p（m、a为正整数）,求a的3m次方,a的2n次方,a的3m+2n次方的值已知集合A={m|m=2^n+n-1,n∈正整数,m 已知a的m次方=3,a的n次方=2,mn是正整数且m＞n,求下列各式的值 1、a的m+1次方 2、a的3m-2n次方 a+4√3=（m+n√3）²（求a,a.m.n均为正整数）是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+9对任意自然数n都能被m整除.若存在,求出最大的m值设a的6次方=a的m次方乘a的n次方,m＞n,且m、n为正整数,求m-n的值若存在正整数m,使得A^m=E,这里的E为单位矩阵,A为n阶方阵,证明A相似于对角型矩阵