设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为的数λ1，…，λm和k1，…，km，使（λ1+k1

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 10:49:31

设有任意两个n维向量组α₁，…，α_m和β₁，…，β_m，若存在两组不全为的数λ₁，…，λ_m和k₁，…，k_m，使（λ₁+k₁）α₁+…+（λ_m+k_m）α_m+（λ₁-k₁）β₁+…+（λ_m-k_m）β_m=0，则（　　）
A. α₁，…，α_m和β₁，…，β_m都线性相关
B. α₁，…，α_m和β₁，…，β_m都线性无关
C. α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性无关
D. α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性相关

因为：
若存在两组不全为的数λ₁，…，λ_m和k₁，…，k_m，使（λ₁+k₁）α₁+…+（λ_m+k_m）α_m+（λ₁-k₁）β₁+…+（λ_m-k_m）β_m=0，
整理得：λ₁（α₁+β₁）+…+λ_m（α_m+β_m）+k₁（α₁-β₁）+…+k_m（α_m-β_m）=0．
因为 λ₁，…，λ_m，k₁，…，k_m不全为零，
所以：α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性相关，故选项D正确．
事实上，剩余几个选项都是错误的．
取m=2，下面举出反例来说明A、B均为错误的，
对于选项A：
取β₁，β₂线性无关，α₁，α_m线性相关，且满足α₂=-α₁．
若取λ₁=k₁=λ₂=k₂=1，
则：（λ₁+k₁）α₁+（λ₂+k₂）α₂+（λ₁-k₁）β₁+（λ₁-k₁）β_m=2α₁+2α₂+0+0=0，
但β₁，β₂线性无关，故选项A错误．
对于选项B：
取β₁，β₂线性无关，α₁，α_m线性相关，且满足α₂=-α₁．
若取λ₁=k₁=λ₂=k₂=1，
则：（λ₁+k₁）α₁+（λ₂+k₂）α₂+（λ₁-k₁）β₁+（λ₁-k₁）β_m=2α₁+2α₂+0+0=0，
但α₁，α₂线性相关，故选项B错误．
下面，利用反正法叙述C是错误的．
倘若选项C正确，
即：α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁-β₁，…，α_m-β_m线性无关，
则对应任意常数k₁，…，k_2m，如果：
k₁（α₁+β₁）+…+k_m（α_m+β_m）+k_m+1（α₁-β₁）+…k_2m（α_m-β_m）=0，
则有：k₁=…=k_2m=0，
而又由已知条件：（λ₁+k₁）α₁+…+（λ_m+k_m）α_m+（λ₁-k₁）β₁+…+（λ_m-k_m）β_m=0，
化简得：λ₁（α₁+β₁）+…+λ_m（α_m+β_m）+k₁（α₁-β₁）+…+k_m（α_m-β_m）=0．
故应该有：λ₁=…=λ_m=k₁=…k_m=0，
这与λ₁，…，λ_m和k₁，…，k_m不全为0矛盾，
故假设不成立，选项C错误．
故选：D．

设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为的数λ1，…，λm和k1，…，km，使（λ1+k1 向量的线性相关给定向量组A：a1,a2,a3…am,如果存在不全为零的数k1,k2,k3,…km,使得k1a1+k2a2 来玩玩吧,简单数学题若对n个向量a1,a2,a3,……,an,存在n个不全为0的实数k1,k2,k3,……,kn使得k1 设α,β分别为n阶矩阵A的不同特征值λ1,λ2的特征向量,对任意非零实数K1,K2,求证:K1α+k2β不是A的特征向量设n维列向量组α1，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，…，βm线性无关的充分必要条件为（　　）线性代数向量证明题设α1,α2,α3,α4线性相关,但其中任意三个向量都线性无关,证明：必存在一组全不为零的数k1,k2 弹簧Ⅰ和Ⅱ的原厂分别为1米和0.5米,劲度系数分别为K1=100N/m,K2=150N/m,现把他们两条物理小题1劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联在一起,下面挂着质量为m的物体,构成一个竖挂的弹簧振子,求该系统设n维向量组α1,……,αm（m 设向量组α1,α2,…,αr线性相关,而其中任意r-1个向量都线性无关,证明:要使k1α1+k2α2+…+krαr=0成大学线性代数题~设向量组α1,α2,…,αr线性相关,而其中任意r-1个向量都线性无关,证明:要使k1α1+k2α2+… 线性代数问题：设A=（a1,a2,.,am）其中ai(i=1,2,...,m)为n维列向量,已知对任意不全为0的数x1,