刘老师,您好,向您请教求线性子空间的维,基及线性变换的问题,

刘老师,您好,向您请教求线性子空间的维,基及线性变换的问题,

(1) 因为实数上上三角矩阵的和与数乘仍是上三角矩阵
所以U(略)是子空间
(2) 维数是3,
A1=[1,0;0 0], A2=[0,1;0,0], A3=[0,0;0,1]
线性无关且任一U中矩阵可由其线性表示
(3) T(A1)=A1
T(A2)=A2
T(A3)=2A2-A3
T在基A1,A2,A3下的矩阵A为
1 0 0
0 1 2
0 0 -1
(4) A的特征值为1,1,-1
因为 r(A-E) = 1
所以A可对角化
再问： 谢谢您，刘老师，不好意思，还得问一下： 1）第（2）条里，是不是因为本题是上三角矩阵，应该是A4=[0,0,0,1]，至于A3=【0，0，1，0】没有了。因为A1，A2，A4线性无关，所以是三维，同时也是基。 2）请问第（3）的核ker 和值域该怎么求呢。 应为将A化成阶梯阵后 r（A）=3, 所以其基础解系为（0，0，0），所以ker 我就不知道该怎么表达了，还有同类题目（r=n）都有这种问题。 3）第（4）我还不太理解，能告诉我吗
再答： 1) 是这样, 编号无所谓 2) T是可逆变换, 核为0, 值域为U 3) 2重特征值1有 3-r(A-E)=2 个线性无关的特征向量, 故可对角化
再问： 1）比如A是3阶矩阵对角矩阵，请问AX=0的基础解系怎样写？ 2）设A=（a1，a2，a3）；a1=(1,0,0)", a1=(0,2,0)", a1=(0,0,3)", ,C(A)={X|AX=XA,X 数域R}，还是求维数和基。3）线性变换T=AXA，求T在2）中所取基的矩阵。并求ker（T）和值域R（T） 太麻烦您了。。
再答： 对U中任一矩阵[a b;0 c] = aA1+bA2+cA3 = (A1,A2,A3)(a,b,c)^T 所以 T[a b;0 c] = T(aA1+bA2+cA3) = T[(A1,A2,A3)(a,b,c)^T] = T(A1,A2,A3)(a,b,c)^T = (A1,A2,A3) A(a,b,c)^T 若 [a b;0 c] 属于核, 则 T[a b;0 c] =0, 故 A(a,b,c)^T=0. 而 r(A)=3, AX=0 只有零解, 所以 a=b=c=0 故核为{0}. 又由A可逆 对U中任一矩阵 [a b;0 c] = (A1,A2,A3)(a,b,c)^T T[(A1,A2,A3)A^-1(a,b,c)^T] = (A1,A2,A3)AA^-1(a,b,c)^T = (A1,A2,A3)(a,b,c)^T = [a b;0 c] . 所以T的象为U.
再问： 不知1，2）中我的计算是否正确： AX=0的基础解系（0，0，0）； dim（C（A））=3， 基：(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T; T=(1,0,0 0,4,0 0,0,9) ker(T)={0} 值域为U. thanks