求dy/dx+y/x=1,当x=2^1/2,y=0时的特解=?

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/15 23:11:48

求dy/dx+y/x=1,当x=√2,y=0时的特解
令y/x=u,则y=ux.(1)；对x取导数得dy/dx=u+x(du/dx),代入原式得：
u+x(du/dx)+u=1,即有x(du/dx)=1-2u；分离变量得du/(1-2u)=dx/x；
取积分 -(1/2)∫d(1-2u)/(1-2u)=∫dx/x
积分之得 -(1/2)ln(1-2u)=lnx,即有ln(1-2u)=ln(1/x²)；
故得1-2u=1/x²,u=(1/2)(1-1/x²)=(x²-1)/(2x²)；
代入(1)式得通解y=(x²-1)/(2x)+C.(2),将初始条件代入得1/(2√2)+C=0,故C=-(√2)/4；
代入(2)式即得特解y=(x²-1)/(2x)-(√2)/4.
再问：积分之得 -(1/2)ln(1-2u)=lnx，即有ln(1-2u)=ln(1/x²)；故得1-2u=1/x²，u=(1/2)(1-1/x²)=(x²-1)/(2x²)；为什么不是：积分之得 -(1/2)ln(1-2u)=lnx，即有ln(1-2u)=ln(1/x²)；故得1-2u=1/x²+C
再答：积分之得 -(1/2)ln(1-2u)=lnx+(1/2)lnC=ln[√C)x]，即有ln(1-2u)=ln(C/x²)，故得1-2u=(C/x²)；故u=(1/2)[1-(C/x²)]=(1/2)[(x²-C)/x²]；代入(1)式得通解y=(x²-C)/(2x)；代入初始条件得：（2-C)/(2√2)=0，故得C=2；于是得特解为y=(x²-2)/(2x). 这样写似乎更好点。你的追问我看不明白。你的追问不是把我写的重复了一遍吗？
再问：明白了!谢谢……

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